
高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の角度で交わる平面で
切断したとき、小さい方の体積を求めよ。
これを次のように考えましたが、答えとは異なるのですが、
考え方のどこが間違っているのか分かりません。考え方を示しますので
誤りをご指摘ください。
最初に切断したときの切り口をS1とする。
次に小さい方の体積を切り口S1に平行な平面で切った切り口をS2とする。
このとき、S1とS2は相似な図形だから、以下、S1に平行な平面で切った
切り口はすべて相似であることから、この切り口の面積を積分すると求める体積になると
思いました。
中心を通って、S1と45°になる直線をX軸にして、中心のX座標を0として、
積分の式は、S1の面積をAとするとA×∫[0~a](a-x)^2/2dxとなりました。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)簡単に相似でないと判断はできる方法は?
「すべての放物線は相似である」は正しいですが、放物線の一部だけを見た場合は相似とは限りません。
例えば、y=x^2とy=2x^2とは相似としていいですが、-1≦x≦1の区間だけにすると相似ではありません。
相似であると明確に証明できない限りはむやみに相似と判断しないことです。
(2)もし、相似だったら質問のような方法で積分してよいのでしようか?
(a-x)^2/2がどこからきたのかわかりませんが、相似でなくても考え方の方向は合ってます。
S1の面積をAとすると、これはx=0のときの面積だから、
x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります。
(x=0のとき1倍、x=aのとき0倍になる)
よって、求める体積は、
V=(√2/2)×A×∫[0~a]((a-x)/a)(√(a^2-x^2)/a)dx
となります。(初めの(√2/2)は切り口が45度傾いているため)
回答ありがとうございます
すべての2次関数のグラフは相似ということは、はじめて
教えてもらうことでした。
相似だとおもい、安易に相似比の2乗とし、(a-x)^2/2がでてきました。
>x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります
この部分を考えたいと思います。図でないと分かりづらいところがあるので、図を見ながら
考えます。
No.2
- 回答日時:
> S1とS2は相似な図形だから
なぜ?
回答ありがとうございます。
きちんと相似のチェックをいれていませんでした。
#1さんへのお礼に書いた理由から、相似だと判断しましたが
相似でなかったようです。
もし、相似だったら質問のような積分の解法でいいのでしょうか?
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