とっておきの手土産を教えて

ガウスの法則から電気力線の総本数が4πkQなんですか?
覚え方もありますか(T-T)?

A 回答 (2件)

今球から電気力線が放射状に発散している場合を考える。


単位面積あたりの電気力線の数=E[V/m]は面積dS[m^2]
によらず一定であることを利用して

ガウスの法則より
∫E*dS=E*∫ds=E*4πr^2=電気力線の総数

今E=k*Q/(r^2)を用いて
電気力線の総数=E*4πr^2=k*Q/(r^2)*4πr^2=4πkQ
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 クーロンの法則 F=kqQ/r^2 より、Q[C] の点電荷から r[m] 離れた点の電場の強さ(=1[C] の電荷に働く力、つまりqを1[C] としたとき、この電荷の受ける力)は、



E=kQ/r^2

 となります。

 さて、電気力線の考え方は、この電気力線の密度(1[m^2] あたりの本数)が電場の強さに等しいということだから、Qから r[m] のところでは、1[m^2] あたり E本の電気力線があることになります。

 ここで、Qを中心とする半径 r[m] の球面を考え、この球面の面積を S[m^2] とすると、この球面上で1[m^2] あたり E本の電気力線があるので、球面を通る電気力線の本数は ES本となります。

 そして、球の表面積 S=4πr^2 だから、先の E の式と合わせて

ES=(kQ/r^2) × (4πr^2)=4πkQ

となり、これが球面を通る電気力線の本数です。

 電気力線は電荷から出発し、この場合電荷は中心にあるQだけなので、「点電荷Qから出る電気力線の本数は4πkQである」となります。

 覚え方ということもないですが、わたしはここまで述べた

電気力線の本数=電荷から距離rのところの電場の強さ×電荷から距離rの球面の面積

という流れで頭に入れています。
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