ガウスの法則から電気力線の総本数が4πkQなんですか？

ガウスの法則から電気力線の総本数が4πkQなんですか？
覚え方もありますか(T-T)？

No.2 ベストアンサー 回答者： chikin_man 回答日時： 2010/10/25 22:05

今球から電気力線が放射状に発散している場合を考える。

単位面積あたりの電気力線の数＝Ｅ[V/m]は面積dS[m^2]
によらず一定であることを利用して

ガウスの法則より
∫Ｅ*dS=E*∫ds=E*4πr^2=電気力線の総数

今Ｅ＝k*Q/(r^2)を用いて
電気力線の総数＝E*4πr^2=k*Q/(r^2)*4πr^2=4πkQ

No.1 回答者： BookerL 回答日時： 2010/10/25 20:25

　クーロンの法則 Ｆ＝ｋｑＱ/ｒ^2　より、Ｑ[C] の点電荷から ｒ[m] 離れた点の電場の強さ（＝１[C] の電荷に働く力、つまりｑを１[C] としたとき、この電荷の受ける力）は、

Ｅ＝ｋＱ/ｒ^2

　となります。

　さて、電気力線の考え方は、この電気力線の密度（１[m^2] あたりの本数）が電場の強さに等しいということだから、Ｑから ｒ[m] のところでは、１[m^2] あたり Ｅ本の電気力線があることになります。

　ここで、Ｑを中心とする半径 ｒ[m] の球面を考え、この球面の面積を Ｓ[m^2] とすると、この球面上で１[m^2] あたり Ｅ本の電気力線があるので、球面を通る電気力線の本数は ＥＳ本となります。

　そして、球の表面積 Ｓ＝４πｒ^2 だから、先の Ｅ の式と合わせて

ＥＳ＝(ｋＱ/ｒ^2) × (４πｒ^2）＝４πｋＱ

となり、これが球面を通る電気力線の本数です。

　電気力線は電荷から出発し、この場合電荷は中心にあるＱだけなので、「点電荷Ｑから出る電気力線の本数は４πｋＱである」となります。

　覚え方ということもないですが、わたしはここまで述べた

電気力線の本数＝電荷から距離ｒのところの電場の強さ×電荷から距離ｒの球面の面積

という流れで頭に入れています。