偏微分について

偏微分について
R^2上C^1級関数f(x,y)があるとする。
R^2上任意の(x,y)でx,yそれぞれの偏微分が0であれば、R^2上、fは定数であることを示せ。

そうなることはわかるのですが、どうやって示せばいいのかよくわかりません。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/03 20:29

∂f/∂x=0 ⇒　f=k1(y)

∂f/∂y=0 ⇒　f=k2(x) (k1はyのみに依存する任意関数。k2はxのみに依存する任意関数)
とおくことが可能。
この式を同時に満たすようなfを考えればよろしい。(fがxもしくはyの関数で表されるとしたら
上記の式を満たすことに反するのはお分かりだろうか)

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2010/11/06 21:02

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/03 21:40

任意の定数 x, y に対して、f(xt, yt) を t の関数と見て、

0 ≦ t ≦ 1 の区間で平均値定理を使ってみよう。