x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値

x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題です…
解説お願いします(T-T)

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/07 20:27

1)　x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、ｘまたはｙを消去します。

　　ここでは　2y=x-k として　ｘを消去します。
　　　x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
　　⇔3x^2-3kx+k^2-9=0　　・・・・★

2)　「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
　　「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
　　ですので、１）で得たｘの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。
　　従って、2次方程式★の判別式から
　　　9k^2-12(k^2-9)≧0
　　⇔k^2≦36
　　∴-6≦k≦6
となります。
　ここから　最大値 6、最小値-6を得ます。

3)　最大・最小となるｘ、ｙの値を求めます。
　　k=±6 のとき　式★の2次方程式は　(x干3)^2=0 となりますので、その解は　x=±3 となります。（複号同順）
　また、yの値は　k=±6, x=±3 のとき　y=(x-k)/2=±(3-6)/2=干3/2 となります。（複号同順）

　従って、最大値は(x,y)=(3,-3/2)のとき 6 で、最小値は(x,y)=(-3,3/2)のとき -6 となります。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/11/08 09:30

どうせ判別式を使うなら、もう少し頭を使おう。

x-2y＝x＋(-2y)＝kとすると、条件式は　x^2+2xy+4y^2＝(x-2y)＾2＋6xy＝9　→　-2xy＝x*(-2y)＝(k＾2-9)/3であるから、xと-2yは　t＾2-kt＋(k＾2-9)/3＝0。‥‥(1)の2つの実数解。
従って　判別式≧0　結果は、｜k｜≦6.
k＝6の時、(1)から、t＝3.つまり、x＝-2y＝3の時。
k＝-6の時、(1)から、t＝-3　つまり、x＝-2y＝-3の時。

これは、a＝x、b＝-2yとして、aとbが　t＾2-(a＋b)t＋(ab)＝0　の2つの実数解と見立てた方法。