
お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。
お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。
>>f(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義
lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より
f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。
k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0
lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h
左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A
同様にh=0のとき、fy(a,b)=B
∴定義はlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-( fx(a,b)h+ fy(a,b)k)}/√(h^2+k^2) =0
a=0,b=0として、
f(0,0)=0 , f(0+h,0+k)= √|hk|
f(x,y)=√|xy|の原点での偏部分係数は
fx(0,0)= lim[h→0] {f(0+h,0)-f(0,0)} / h = lim[h→0] 0/h =0
fy(0,0)= lim[k→0] {f(0,0+k)-f(0,0)} / k = lim[k→0] 0/k =0
これらを定義に代入して、
lim[(h,k)→0] √|hk|/√(h^2+k^2)…(※) が0に収束するかについて
点(0,0) と点(0+h,0+k)を結ぶ直線をrとして、点(0,0)と点(0+h,0)を結ぶ直線とrのなす角をθとする。
cosθ=h/rよりh=rcosθ , sinθ=k/rよりk=rsinθ
(ただし、r>0 ,0≦θ≦π/2 , (h,k)→0 ⇒ r→0)
(※)に代入して、lim[r→0] √|r^2cosθsinθ|/√{r^2(cos^2θ+sin^2θ)} , r>0より
lim[r→0] √(r^2| cosθsinθ|) / √r^2
= lim[r→0] (r√| cosθsinθ| )/ r
= lim[r→0] √| cosθsinθ|= √| cosθsinθ|
∴ 極限値はθに左右される。つまり全微分不可能である。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
いいんじゃない?
語り口はモタついているけれど、
内容に間違いは見られない。
正解。
No.2
- 回答日時:
(x,y)=(0,0)で全微分不可能であることを示すには、
(x,y)→(0,0)への全ての方向微分係数が一致しない、つまり、最低2つの異なる方向微分係数の存在を示せばよい。
x=y=t,t→+0とした時の方向微分係数は
√|xy|=tなので lim(t->+0)(t)'=1 …(1)
x=y=t,t→-0とした時の方向微分係数は
√|xy|=-tなので lim(t->+0)(-t)'=-1 …(2)
(1)と(2)が異なる。ゆえに全微分不可能である。
なお、他の方向微分係数として
y=0としてx→0とした時の方向微分係数は
√|xy|=0なので lim(x->0)(0)'=0 …(3)
と(1),(2)とも異なる方向微分係数が存在すると示すこともできる。
また、y=2xとしてy→+0とした時の方向微分係数は
√|xy|=(√2)xなので lim(x->0)(x√2)'=√2 …(4)
と(1),(2),(3)とも異なる方向微分係数が存在すると示すこともできる。
>>方向微分係数の存在を示せばよい。
すごくシンプルに微分不可能を示すことができるんですね、全微分の定義に代入する形にこだわりすぎました。
ご指導、ありがとう御座います!
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
積分 ∫√(4-x^2)dxについて
-
sinωTをTで積分。
-
e^(-x)*|sinx| これを積分する...
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
積分について教えてください
-
In=∮sin^n xdxとおくとき漸化式...
-
sinx=cosxの解き方。
-
なぜ2sinθ=1になるんですか?
-
2つの円の一部が重なった図
-
周期の最小値?
-
円の方程式(極座標形式)
-
これsin75°を求めよで答え √6+...
-
(sinx)^6の積分を教えてください
-
y=sin^( -1) x の(-1)って...
-
簡単な偏微分についての質問です。
-
(arcsinx)^2 この積分の途中式...
-
∫SIN3X (サイン三乗X)の積分...
-
lim【(x,y)→(0,0)】sin(xy)/x^2...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分 ∫√(4-x^2)dxについて
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
(sinx)^6の積分を教えてください
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
写真の数学の質問です。 (1)でB...
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
sinωTをTで積分。
-
eの積分について
-
e^(-x)*|sinx| これを積分する...
-
周期の最小値?
-
極限の問題
-
『楕円球体の三重積分を極座標...
-
sin2tの積分の仕方わかる人いま...
-
sinx=cosxの解き方。
-
2つの円の一部が重なった図
-
(sinθ)^2とsin^2θの違い
-
大学数学の極限の問題について ...
-
三角関数の答えが1以上になるの...
-
なぜ2sinθ=1になるんですか?
-
sin2θからsinθを求めるには?
おすすめ情報