指数分布,連続型確率変数Xが,分布関数f(x)=ce^-cx(x≧0),0(x<0)(cは定数,c>0)を持つとき,xは指数分布に従うという。
(1)公理を説明せよ。
(2)E(x),V(x)を求めよ。
と言う問題です。
(1)は連続型なので∫_-∞^∞f(x)=1から∫_0^∞(ce^-cx)dx=c∫_0^∞(e^-cx)dx=-〔e^-cx〕_0^∞=1と言うのを授業でして復習しているのですが,c∫_0^∞(e^-cx)dx=-〔e^-cx〕_0^∞=1の部分がどうしてこうなるのかが分かりません。教えてください。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#1への「補足」に対して
>c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx = c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞
#1と同じことを書くことになるのですが、
∫e^(-cx)dx = (-1/c)e^(-cx) + f (f は積分定数)
だからです。
(i) もしこの不定積分を質問しておられるのでしたら、a が定数のとき
(d/dx)e^(ax)
= [{d/d(ax)}e^(ax)]・d(ax)/dx
= e^(ax)・a
= a e^(ax)
を思い出してください。a で割ると
e^(ax) = (d/dx){(1/a) e^(ax)}。
この式は (1/a) e^(ax) を x で微分すると e^(ax) になることを示しています。逆に言うと、e^(ax) を x で積分すれば (1/a) e^(ax) + 定数 になるということです。式で書くと
∫e^(ax) dx = (1/a) e^(ax) + 積分定数。
いまは a = -c の場合です。
(ii) 不定積分自体は問題ないのであれば、
c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx
= c [(-1/c)e^(-cx) + f]_0^∞。
ここで、f の項は定数ですから、積分の上端と下端で同じ寄与をします。よって、引き算をすると消えてしまい、そのため、定積分ではふつう、積分定数は書かないで
= c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞
とします。
No.3
- 回答日時:
(1)
公理を補足にお書き下さい。
自身の言葉で説明された方がいいと思います。
(2)
>c∫_0^∞(e^-cx)dx=-〔e^-cx〕_0^∞=1の部分がどうしてこうなるのかが分かりません。
確率分布道度関数f(x)の性質
∫[-∞,∞] f(x)dx=1
この式に
f(x)=c e^(-cx) (x≧0), =0 (x<0)
を代入すれば
c∫[0,∞] e^(-cx) dx=c { [(-1/c) e^(-cx)](x→∞)-[(-1/c) e^(-cx)](x=0)}
= c(1/c) e^0
= 1
= 右辺
となりませんか?
じっと式の変形を見ていれば分かると思いますが?
E(x) = ∫[0,∞] x * c e^(-cx) dx = 1/c
V(x) = ∫[0,∞] (x^2) * c e^(-cx) dx = 2/(c^2)
この積分は部分積分すればできます。
No.2
- 回答日時:
#1の
>∫e^(-cx) = (-1/c)e^(-cx) + d (d は積分定数)
を
∫e^(-cx) dx = (-1/c)e^(-cx) + d (d は積分定数)
に訂正します。
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