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計量gの成分も座標系により異なることに注意してください。
a_j = e_j^i A_i の両辺に g'^kj e_k^l とを掛けて和をとって、 g'^kj a_j e_k^l = g'^kj e_j^i A_i e_k^l
このうち左辺は a^k e_k^l です。
また、反変テンソルの変換則より g'^kj e_j^i e_k^l = g^il ですから、右辺は g^il A_i, すなわち A^l になります。
以上より a^k e_k^l = A^l が分かります。
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