球に内接する直円錐の体積

「半径aの球に内接する直円錐のうち、体積が最大のものを求めよ」

という問題なのです。
最大のものは微分をすれば求まるのでしょうが、体積をaで表現することができません。
回答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/03/25 09:05

円錐の高さh(＞0),円錐の底面の半径r（＜a）とすると

h≧aの場合
V=πr^2*{a+√(a^2-r^2)}　（黒線のグラフ）　…(1)
h＜aの場合
V=πr^2*{a-√(a^2-r^2)｝　（青線のグラフ） …(2)
これをグラフに描いた図を添付します。

(1)の方でVの最大値をとることが分かる。
最大値を求める為に(1)のVの式をrで微分すると

V'=πr{(2a√(a^2-r^2)-3r^2+2a^2}/3√(a^2-r^2)
V'=0とするr(>0)を求めると
2a√(a^2-r^2)=3r^2-2a^2
4a^2(a^2-r^2)=(3r^2-2a^2)^2
r>0より　∴r=2√2a/3
このとき最大値Vmax=(32/81)πa^3

この回答へのお礼

みなさんご回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/03/25 21:58

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/03/25 13:35

どうせ、微分を使うにしても、この程度なら数IIで事がすむ。

何で、わざわざ面倒な解き方をするんだろうね？

V=πr^2*{a+√(a^2-r^2)}　‥‥(1)
r＝a*cosθ　(0＜θ＜π)とすると、sinθ＞0から、a+√(a^2-r^2)}＝a*(1+sinθ)であるから、V=πr^2*{a+√(a^2-r^2)}＝πa＾3*(1+sinθ)(cos＾2θ)　。
sinθ＝xとすると、0＜x≦1　の範囲で、(1+sinθ)(cos＾2θ)＝(1+x)*(1－x＾2)の最大値を求めるとよい。

それだけの単純な問題だよ。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/03/24 23:24

円錐の底面の半径をrとすれば、高さhと体積Vは、

h=a+√(a^2-r^2)
V=πr^2h/3=πr^2(a+√(a^2-r^2))/3

体積Vをrで微分し、V'=0となるrを求めて、そのrを体積Vの式に代入すれば体積が求まります。