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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
円錐の高さh(>0),円錐の底面の半径r(<a)とすると
h≧aの場合
V=πr^2*{a+√(a^2-r^2)} (黒線のグラフ) …(1)
h<aの場合
V=πr^2*{a-√(a^2-r^2)} (青線のグラフ) …(2)
これをグラフに描いた図を添付します。
(1)の方でVの最大値をとることが分かる。
最大値を求める為に(1)のVの式をrで微分すると
V'=πr{(2a√(a^2-r^2)-3r^2+2a^2}/3√(a^2-r^2)
V'=0とするr(>0)を求めると
2a√(a^2-r^2)=3r^2-2a^2
4a^2(a^2-r^2)=(3r^2-2a^2)^2
r>0より ∴r=2√2a/3
このとき最大値Vmax=(32/81)πa^3
![「球に内接する直円錐の体積」の回答画像2](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/6/827568_5497e4f917e7d/M.jpg)
No.3
- 回答日時:
どうせ、微分を使うにしても、この程度なら数IIで事がすむ。
何で、わざわざ面倒な解き方をするんだろうね?
V=πr^2*{a+√(a^2-r^2)} ‥‥(1)
r=a*cosθ (0<θ<π)とすると、sinθ>0から、a+√(a^2-r^2)}=a*(1+sinθ)であるから、V=πr^2*{a+√(a^2-r^2)}=πa^3*(1+sinθ)(cos^2θ) 。
sinθ=xとすると、0<x≦1 の範囲で、(1+sinθ)(cos^2θ)=(1+x)*(1-x^2)の最大値を求めるとよい。
それだけの単純な問題だよ。
No.1
- 回答日時:
円錐の底面の半径をrとすれば、高さhと体積Vは、
h=a+√(a^2-r^2)
V=πr^2h/3=πr^2(a+√(a^2-r^2))/3
体積Vをrで微分し、V'=0となるrを求めて、そのrを体積Vの式に代入すれば体積が求まります。
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