整式 f(x)=(x^4+4)(x^4-8x^2+4)+64x^2
を因数分解するとどういった形になるのでしょうか。

方程式 f(x)=0 の解はどうなるのでしょうか?

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A 回答 (4件)

x^2=u+2とおく。


f(x)=(x^4+4)(x^4-8x^2+4)+64x^2=u^4-16u^2+64=(u^2-8)^2
=((x^2-2)^2-8)^2
=(x^4-4x^2-4)^2


f(x)=0とすると
x^4-4x^2-4=0
x^2=2±2√2
x=±√(2(√2+1)),±i√(2(√2-1)),
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

x^2=u+2とおく、

常人には思いつかないアイデアだと思いました。

お礼日時:2011/04/09 15:44

因数分解の手間は、気の利いた塊に着目するか、


気が利かない塊に着目するかによって決まります。
幾何学の補助線などと同様に、スマートな塊ほど
思いつき難い。計算の簡潔さと考え方の自然さ、
どちらを偏重しても、あまり見通しの良い印象に
ならないので、バランスのとり方が難しい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

おっしゃるとおりバランスが大事と思います。

お礼日時:2011/04/11 19:15

> x^2 = u + 2 とおく、


> 常人には思いつかないアイデアだと思いました。

x^2 + 4 = y と置くなら、
常人で思いつく範囲だと思いますが。
式の中から塊を見つける ことは、因数分解のキモです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。展開すると、
x^8-8x^6+8x^4+32x^2+16
になりますが、x^2を固まりと見なせば、単なる4次式に相当しますね。
なので、
(x^4+ax^2+b)(x^4+cx^2+d)
とおいて、試行錯誤するのがベタだがいつでも使える方法だと思いました。

お礼日時:2011/04/10 03:33

f(x)=(x^4+4)(x^4-8x^2+4)+64x^2


=x^8+4x^4-8x^6-32x^2+4x^4+16+64x^2
=x^8-8x^6+8x^4+32x^2+16
=(x^4-4x^2)^2-8x^4+32x^2+16
=(x^4-4x^2)^2-8(x^4-4x^2)+16
=(x^4-4x^2-4)^2

整数係数ではこれ以上できないようです。

整数でなくてもよいのなら、
=(x^4-4x^2+4-8)^2
=((x^2-2)^2-(2√2)^2)^2
=(x^2-2+2√2)^2(x^2-2-2√2)^2

f(x)=0の解は、実数の範囲では、
x=±√(2+2√2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

=x^8-8x^6+8x^4+32x^2+16
=(x^4-4x^2)^2-8x^4+32x^2+16

として、6次の項をなくすことがポイントのようですね。

お礼日時:2011/04/09 15:42

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