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１～９までの数字を使って

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  • 質問者：taiyuumasahiro
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

下の空欄を埋める問題です。
ただし、同じ数字は１回ずつしか使用出来ません。

□□×□＝□□＋□□＝□□
　 学校の宿題と息子に聞かれたのですがわかりません
　
数学に強い方よろしくお願いします。m(__)m

できれば考え方もよろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： edomin7777
  • 回答日時：

有りません。


問題を書き換えて、
ab×c=de+fg=hi
としたときに１～９までを順番に当てはめても解答がありませんでした。

ab×c=de , de+fg=hi
と式を2つに分けると
17×4=68 , 68+25=93
が成り立ちます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。これが求めていた答えです。筆算の形で穴埋め□となっており、edmin7777様の下段の回答でOKでした。ちなみにこれはどういった方法でたどり着けたのでしょうか？よろしければご教授願います。

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お礼日時：2011/04/10 20:29

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なにしろコタエが多いので、できるだけ数式で解こうとしましたが、
以下の通り(1)～(5)の条件を満たす組み合わせ、ということを導く
までにとどまりました。力及ばずです。

プログラムを組んで数え上げたところ、168×2通り（×2は、
「●-○=△」と「●-△=○」をカウントするの意）のようです。



与式を、[pqr]+[xyz]=[abc]と表すことにする。
　・[pqr]は、100,10,1の位がそれぞれp,q,rの3桁の数。
　　値は=100p+10q+r
　・p,q,r,a,b,c,x,y,zは、1～9のいずれかで互いに重複無。

このとき、ある位での足し算は、
・前の位での繰り上がりで1更に足される
・繰り上がりによって次の位の足し算に1更に足す
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従って、
{r+z,q+y,p+x}
={c,b,a}、{c,b+10,a-1}、{c+10,b-1,a}、{c+10,b-1+10,a-1}
の４つのいずれかに分類される。

これより、
a+b+c+p+q+r+x+y+z
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左辺=1～9の和=45、a,b,cはいずれも自然数なので、
a+b+c=18　・・・(1)
{r+z,q+y,p+x}={c,b+10,a-1}、{c+10,b-1,a}のいずれか ・・・(※)

(※)の前者の場合
1+2<=c<=9、11<=b+10<=8+9、1+2<=a-1<=8　・・・(2)
(※)の後者の場合
11<=c+10<=8+9、1+2<=b-1<=8、1+2<=a<=9　・・・(3)

また、題意より[pqr]<=[xyz]のみを考えればよく、その場合
p≠xから、　p<=a/2　・・・(4)

(1)～(4)を満たすa,b,c,p,q,r,x,y,zを見出せばよい。

なにしろコタエが多いので、できるだけ数式で解こうとしましたが、
以下の通り(1)～(5)の条件を満たす組み合わせ、ということを導く
までにとどまりました。力及ばずです。

プログラムを組んで数え上げたところ、168×2通り（×2は、
「●-○=△」と「●-△=○」をカウントするの意）のようです。



与式を、[pqr]+[xyz]=[abc]と表すことにする。
　・[pqr]は、100,10,1の位がそれぞれp,q,rの3桁の数。
　　値は=100p+10q+r
　・p,q,r,a,b,c,x,y,zは、1～9のいずれかで互いに重複無。

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１桁の○には絶対にないものを消して、後は場合に応じて考えながら
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8 のときは、小さい方から123○、124○をかけても現れず、125○を
かけると10000オーバー。で、 8 もなし。

7 のときは、かけられる数は 1○○○ だがその一の位には2,4,6,8,9の
どれかになることを踏まえて、12○○の○の数字を順にかえながら計算
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１桁の○には絶対にないものを消して、後は場合に応じて考えながら
地道にやるしかないのでは？と思いますが・・

１桁の○には、1,5,9はありえない。

8 のときは、小さい方から123○、124○をかけても現れず、125○を
かけると10000オーバー。で、 8 もなし。

7 のときは、かけられる数は 1○○○ だがその一の位には2,4,6,8,9の
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なぜそうなるのか教えてください。

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＞　なぜ2×56、9×56なんですか？公式とかあるんですか？
公式などと軽々しく口にしないで欲しい。分からない事が出てくるとすぐに公式なのかと口に出すのは、数学を理解しようとしていない人の典型と考えざるをえない。

＞　一の位で1は56個、2は56個なら1×56+1×56+1×56+1×56+1×56+1×56
+1×56+1×56+1×56じゃないんですか
意味不明です。1×56を9回足したものがなぜ 「1は56個、2は56個なら」になるのか補足欄へどうぞ。

ただ単に混乱しているだけでしょう。

数を減らして、全部書き出してみましょう。
１から９だと数が多くなりすぎるので、１から４の数字を並び替えて３桁の数字を作って見ましょう。これをすべて羅列して、筆算でそれらの和を求めることを考えます。以下に一応書き出しますが、必ず自分で書き出して確認してください。

　　１２３
＋１２４
＋１３２
＋１３４
＋１４２
＋１４３
＋２１３
＋２１４
＋２３１
＋２３４
＋２４１
＋２４３
＋３１２
＋３１４
＋３２１
＋３２４
＋３４１
＋３４２
＋４１２
＋４１３
＋４２１
＋４２３
＋４３１
＋４３２
－－－－－

です。できる３桁の数の個数は４×３×２＝２４個。
これら２４個の３桁の数を上のように筆算で求めようと思ったら、まず１の位の数（上の筆算の右端の列）を全部足しますよね。それをやってみてください。１の位の数を全部足すと６０になるでしょう。だから、すべての数の和の１の位は０で、１０の位に６繰り上がって・・・というのを小学校で習ったはずです。分からなければ、即刻退場してください。

で、１の位の数を全部足すと６０になる、ということをもう少し賢く計算しよう。足そうとしている全ての数の１の位だけに注目する。１の位が「１」である数字は何個ありますか？実際に数えてみてください。６個ありますよね。なぜ６個になるか、分かりますよね。じゃあ、１の位が「２」である数字は何個ありますか？「３」は？「４」は？と見ると、「２」も「３」も「４」も６個づつあります。
もう一度まとめると、足そうとしている２４個のすべての数において、１の位だけに着目とすると、「１」～「４」という数字が６回個づつ出てくる。
じゃあ、全ての数の１の位だけを足したら、いくつになりますか？
「１」が６個＋「２」が６個＋「３」が６個＋「４」が６個
＝１×６＋２×６＋３×６＋４×６
＝（１＋２＋３＋４）×６
＝１０×６
＝６０

このような計算を「１」から「９」にして計算しているだけ。
申し訳ないが、これでもまだ分からないと言い張るなら、考えるつもりが無いとみなさざるをえない。

＞　なぜ2×56、9×56なんですか？公式とかあるんですか？
公式などと軽々しく口にしないで欲しい。分からない事が出てくるとすぐに公式なのかと口に出すのは、数学を理解しようとしていない人の典型と考えざるをえない。

＞　一の位で1は56個、2は56個なら1×56+1×56+1×56+1×56+1×56+1×56
+1×56+1×56+1×56じゃないんですか
意味不明です。1×56を9回足したものがなぜ 「1は56個、2は56個なら」になるのか補足欄へどうぞ。

ただ単に混乱しているだけでしょう。

数を減らして、全部書き出してみましょう。
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１ａｂ３Ｘｃ＝ｄｅｆｇ
前提条件により文字部分は０，１，３ではない。
ｃ≠５（ｃ＝５ならｇ＝５で不適）、ｃ≠９（ｃ＝９ならａ≧２で計算結果が５桁となり不適　尚前提条件よりａ≠０、ａ≠１）
現時点でｃは２，４，６，７，８の可能性がある。

ｃ＝８と仮定する。
３Ｘ８＝２４からｇ＝４　ａ≧３では計算結果が５桁となるのでａ＝２
残りはｂ，ｅ，ｆと５，６，７
ｂ＝５ならｆ＝２　ｂ＝６ならｆ＝０　ｂ＝７ならｆ＝８　いずれも不適

ｃ＝７と仮定する。
３Ｘ７＝２１からｇ＝１で不適

ｃ＝６と仮定する。
３Ｘ６＝１８からｇ＝８　ａが７，９の時は計算結果が５桁になるので不適
ａ＝５とするとｄ＝９
残りはｂ，ｅ，ｆと２，４，７
ｂ＝２ならばｆ＝３、ｂ＝４ならばｆ＝５、ｂ＝７ならばｆ＝３でいずれも不適
ａ＝４とするとｄ＝８となり不適　１４Ｘ６＝８４　下の桁からの繰り上がりは最大でも５（９Ｘ６＝５４）なのでｄ＝９はありえない。
ａ＝２とするとｄ＝７
残りはｂ，ｅ，ｆと４，５，９
ｂ＝９ならば１２９３Ｘ６＝７７５８、ｂ＝５ならば１２５３Ｘ６＝７５１８、ｂ＝４ならば１２４３Ｘ６＝７４５８となり不適

ｃ＝２と仮定する。
ｄ＝２かｄ＝３しかありえないので不適

ｃ＝４と仮定する。
３Ｘ４＝１２からｇ＝２
ｂ＝５ならｆ＝１、ｂ＝８ならｆ＝３で不適
ｂ＝６と仮定するとｆ＝５。
ａ＝７なら１７６３Ｘ４＝７０５２、ａ＝８なら１８６３Ｘ４＝７４５２で不適
ａ＝９なら１９６３Ｘ４＝７８５２　これだけが条件に合います。

１ａｂ３Ｘｃ＝ｄｅｆｇ
前提条件により文字部分は０，１，３ではない。
ｃ≠５（ｃ＝５ならｇ＝５で不適）、ｃ≠９（ｃ＝９ならａ≧２で計算結果が５桁となり不適　尚前提条件よりａ≠０、ａ≠１）
現時点でｃは２，４，６，７，８の可能性がある。

ｃ＝８と仮定する。
３Ｘ８＝２４からｇ＝４　ａ≧３では計算結果が５桁となるのでａ＝２
残りはｂ，ｅ，ｆと５，６，７
ｂ＝５ならｆ＝２　ｂ＝６ならｆ＝０　ｂ＝７ならｆ＝８　いずれも不適

ｃ＝７と仮定する。
３Ｘ７＝２１からｇ＝１で不適

ｃ＝６と仮定する。
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