3次方程式 x^3-3x+1=0 の1つの解を α とするとき,

1/(α^2-α-2) - 1/(α^2+α-2) + 1/(α^2-2α+1) - 1/(α^2+2α+1) = 2

となるそうなのですが、どう計算すればよいのでしょうか。

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A 回答 (2件)

式の順番を少々入れ替えて、



[1/(α^2-α-2)- 1/(α^2+2α+1)]+[1/(α^2-2α+1)-1/(α^2+α-2)]
とすると、

前半部分

1/(α^2-α-2)- 1/(α^2+2α+1)

=1/(α-2)(α+1)-1/(α+1)^2

=[(α+1)-(α-2)]/(α-2)(α+1)^2

=3/(α^3-3α-2)


同様に、後半部分

1/(α^2-2α+1)-1/(α^2+α-2)

=1/(α-1)^2-1/(α+2)(α-1)

=[(α+2)-(α+1)]/(α+2)(α-1)^2

=3/(α^3-3α+2)


よって
1/(α^2-α-2) - 1/(α^2+α-2) + 1/(α^2-2α+1) - 1/(α^2+2α+1)

=3/(α^3-3α-2)+3/(α^3-3α+2)

α^3-3α+1=0だから・・・
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

計算の順序がコツなのですね。

お礼日時:2011/04/13 00:29

実際に通分して長々と計算する。


分子=6(α^3-3α)となるが、α^3-3α+1=0なので括弧の中は-1となる。よって分子=-6
同様に分母も展開して計算すれば-3になるんじゃないの?それくらい自分でやれ!簡単な賢い解法を考えるのはその後だ。
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

うまい計算方法があると思っていました。

別の人に聞いたところ、互除法を使うそうです。

お礼日時:2011/04/13 00:29

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Q連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?

連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?


画像に問題が添付してあります。


一つ目の
{x =C1 より (x) (C1)
{ y =C2 (y) = (C2)
{ z =C3 (z) (C3) 」

それと後3つあるみたいです。 わかる方いましたらご教授お願いします!

Aベストアンサー

3元の連立方程式に関する問いが難しければ,まず2元で考えてみましょう。

2つの平面の共通部分は
A.平面(2つの平面が一致しているとき)
B.空集合(2つの平面が平行なとき)
C.直線(それ以外のとき)
ですね。

それでは3つの平面の共通部分はどうなるかと言えば,2つの平面の共通部分ともう一つの平面の共通部分です。
A.2つの平面の共通部分が平面のときからは,
A1.平面
A2.空集合
A3.直線
が出てきて
B.2つの平面の共通部分が空集合のときからは
B1.空集合
だけですね。
C.2つの平面の共通部分が直線のときからは
C1.空集合(直線と平面が平行なとき)
C2.点(それ以外のとき)

結局,
1.平面
2.空集合
3.直線
4.点
になることが分かりました。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Q数学問題、どう見ても方程式使って解く問題がある

一流校といわれ誰もが知ってる中学の入試問題(数学)を見ました。
変数こそ使ってませんが、どこから見ても方程式で、□に入る数字を答えよとの問題でした。私は理系大卒なので普通に方程式で解けますが、確か小学校の教育課程に方程式は無かった筈です。

方程式以外でどうやって解くのでしょう?あるいは方程式を使って解いてもいいのでしょうか?方程式を使うのが現代の私立中学受験の常識なのでしょうか?

Aベストアンサー

方程式で解きます。

 そもそも指導要領というのは文科省が勝手に決めているもので、学校はそれに従わないと認可が下りないから一応従ってるだけです。高偏差値の中学校では指導要領の範囲内では合否が判定できる問題が作れないほど受験生のレベルが上がってるとも言えます。また進学校では有名大学に合格できる生徒がほしいわけで、多少進んだ範囲の勉強ができている生徒がほしいのでしょう。高校受験では数学IAがほぼ完了しているレベルを求める学校もあります。(開成高校など)

 東大の入試問題では「円周率が3,06(たしかこの数字です)より大きいことを証明せよ」という問題が出ました。来春から円周率が「およそ3」になる学習指導要領変更時直前の時です。東大だから話題になったこともありますが…。東大が学習指導要領に反対した例です。

 ちなみに小学校でも比例の式「Y=AX」と反比例の式は習います。文字は使ってます。
ご参考までに。
 

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

Q中学数学 方程式について教えてください

一般常識の問題で、一次方程式、連立方程式、不等式で一章分で説明、二次方程式で別の一章分で説明と分けられています。

一次方程式、連立方程式、二次方程式の違いがいまいちよくわかりません。

●一次方程式の【一次】、連立方程式の【連立】、二次方程式の【二次】はどういう意味があるのか、教えてほしいです。


●連立方程式が「未知数が2つ以上の方程式」と説明があったのですが・・・それなら二次方程式も連立方程式の1つ、ということですか。

●一次方程式、連立方程式、二次方程式の違いは式を効率よく見分ける基準はあるのでしょうか。

Aベストアンサー

一次方程式は
ax+b=0
の形で表すことが出来る方程式のことです。xに指数部分がありませんよね。
xの1乗ということなのですがx^1=xなのでx^1とは記述しません。xの1乗の1が一次方程式の一と考えてください。
a、bは実数(有理数と無理数)です。
またy=ax+bの任意のxに対してyが決まるものを一次関数といいます。

二次方程式はax^2+bx+c=0
の形で表すことが出来る方程式のことです。ax^2とxの2乗の部分がありますよね。この2乗の部分が二次方程式二になります。
a、b、cは実数(有理数と無理数)です。
またy=ax^2+bx+cの任意のxに対してyが決まるものを二次関数といいます。

連立方程式とは「2つ以上の未知数を含む2つ以上の方程式」が与えられて、
未知の数が2つ以上の方程式を満足する値が求まるものなのです。
例えばy=x+1、y=-2x-2の連立方程式があったとします、
二つの式を満足するxとyは-1と0となります。
問題の中で判らない数が2つなら連立方程式の式は2つ
判らない数が3つなら連立方程式の数は3つ必要になってきます。

これは突き詰めると、かなり難しい概念なのでこんなものだと覚えておくしかないと思います。

一次方程式は
ax+b=0
の形で表すことが出来る方程式のことです。xに指数部分がありませんよね。
xの1乗ということなのですがx^1=xなのでx^1とは記述しません。xの1乗の1が一次方程式の一と考えてください。
a、bは実数(有理数と無理数)です。
またy=ax+bの任意のxに対してyが決まるものを一次関数といいます。

二次方程式はax^2+bx+c=0
の形で表すことが出来る方程式のことです。ax^2とxの2乗の部分がありますよね。この2乗の部分が二次方程式二になります。
a、b、cは実数(有理数と無理数)です。
またy=ax^2+bx+...続きを読む

Qx^4-4x^3+5x^2-4x+1=0でx+1/x=tとする時、 tで表すと?

宜しくお願い致します。

4次方程式x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0…(*)に於いてx+1/x=tとする時、 
(*)をtで表すと?
という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 ...続きを読む

Q√1+√2+√3+…+√nの漸近展開

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラフではさまれた面積と考えることで、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+…
となることはわかるのですが、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+α√n+…
とさらに精密にしたいとき、αがどういった定数になるのかわかりません。

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラ...続きを読む

Aベストアンサー

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k/n)) = (2/3) + O(1/n^2)
になります. ここで同じように両辺に n^(3/2) を掛けて左辺を整理すると
√1 + √2 + … + √(n-1) + (1/2)√n = (2/3)n^(3/2) + O(n^(-1/2))
となり, 両辺に (1/2)√n を加えることで
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2) + (1/2)n^(1/2)
まで持っていけます.
ああ, たぶん a が正なら自然数かどうかに関係なく
Σk^a = [1/(a+1)]n^(a+1) + (1/2)n^a + …
となると思いますよ.

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q小5、少数の割り算筆算について

小5の子供が算数で少数の割り算、掛け算の筆算をやっているのですが、どうも繰り上げや繰り下がりの足し算、引き算の部分で間違えることが多く困っています。
たぶん、少数の問題でなくても、同じような間違いはよくしています。
この場合、割り算、掛け算の筆算をたくさんやらせた方がいいのでしょうか。
それとも、レベルを下げて足し算、引き算の筆算をやり直させたほうがいいのでしょうか。
何事も繰り返しやることが一番なのでしょうが、
効率のよい勉強の仕方がありましたらどうか教えてください。

Aベストアンサー

>>この場合、割り算、掛け算の筆算をたくさんやらせた方がいいのでしょうか。

当然ですが,間違えたまま沢山やらせるのは,逆効果です.

>>それとも、レベルを下げて足し算、引き算の筆算をやり直させたほうがいいのでしょうか。

足し算、引き算の筆算が不得手で,間違いが多ければ,やり直させる必要はあります.
しかし,その場合,間違える原因をしっかり,確実につかんで,
間違える原因をなおしてやることが肝心です.

>>何事も繰り返しやることが一番なのでしょうが、

「繰り返しやること」自体は,私は,そう重要ではない,と考えます.
重要なことは,「繰り上げや繰り下がりの足し算、引き算」の意味・内容を理解すること
のほうが重要でしょう.

>>効率のよい勉強の仕方がありましたらどうか教えてください。

「効率のよい勉強法」というのは,私にも,良く分かりませんが,
まず,「間違えることが多い」原因を探ることから,お始めになったら如何でしょう.

(1):「間違える原因」は,早くやろうとして,あせって間違えるのか?

(2):「間違える原因」は,何か,理解していない部分があるのか?

(3):「間違える原因」は,繰り上げや繰り下がりの意味が理解されていないためか?

(4):そのほかに「間違える原因」があるか?

などをみてやるのが,良いのではないでしょうか.

>>たぶん、少数の問題でなくても、同じような間違いはよくしています。

と,おっしゃられていますが,これは,お子さんの性格が,「せっかち」なためなのかどうか?
「割り算、掛け算」や「少数の割り算、掛け算」そのものの意味・内容を理解しているかどうかを,
まず,見極めてやるのが,お子さんの将来の為であると存じます.

親が「せっかち」になってはいけません.早くやるように,お子さんをせかせてはいませんか?
お子さんのペースに合わせて,理解度を見極めてやって下さい.これが一番肝心です.

>>この場合、割り算、掛け算の筆算をたくさんやらせた方がいいのでしょうか。

当然ですが,間違えたまま沢山やらせるのは,逆効果です.

>>それとも、レベルを下げて足し算、引き算の筆算をやり直させたほうがいいのでしょうか。

足し算、引き算の筆算が不得手で,間違いが多ければ,やり直させる必要はあります.
しかし,その場合,間違える原因をしっかり,確実につかんで,
間違える原因をなおしてやることが肝心です.

>>何事も繰り返しやることが一番なのでしょうが、

「繰り返しや...続きを読む

Q3x^2-4x+2x^2+1の同類項をまとめなさいと言われたとき、 3x^2-4x+2x^2+1=(

3x^2-4x+2x^2+1の同類項をまとめなさいと言われたとき、
3x^2-4x+2x^2+1=(3+2)x^2-4x+1
=5x^2-4x+1
とすると思いますが、(3+2)x^2の括弧の中の3+2は3(個)+2(個)というような意味がある計算ではないから、この場合の3+2は意味のないただの数字計算ということになるのですか?

Aベストアンサー

x^2 が 3 コと 2 コあるので、同類項を整理したら、5 コの x^2 になったと言っているようです。


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