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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
回答1の「左辺が最大になるのは、|||x+a|-b|+a|が最小になる時」は、とんでもない勘違いっすね。
一応、a≧0、b≧0の場合だけ訂正しときます↓
不等式の左辺をf(x)と置くと、この場合、
f(x)=|||x+a|-b|+a-b|。
fは(定義域を無視すると)-a≦0に関して対称(f(t+a)=f(t-a))だから、x≧-aだけ考えれば十分。
(1) f(x)=||x+a-b|+a-b| (x≧-a)。
a>bの場合:
f(1)=1+a-b+a-b=1+2(a-b)>1で、不等式は成り立たない。
a≦bの場合:
(1)のf(x)が最大になるのは、|x+a-b|=|x-(b-a)|が最大か最小のとき。
これが可能なのはx=-a、b-a、1のどれか。
x=-aはa≦1の時のみ可能で、f(-a)=a≦1。
x=b-aはb-a≦1の時のみ可能で、f(b-a)=b-a≦1。
また、もし1-(b-a)≧0なら、
f(1)=||1-(b-a)|-(b-a)|≦(1-(b-a))+(b-a)=1。
もし1-(b-a)<0なら、
f(1)=||1-(b-a)|-(b-a)|=|((b-a)-1)-(b-a)|=1。
というわけで不等式は成り立つ。
その他の場合も、絶対値記号をできるだけ減らし、左辺を最大にしそうなxの候補を当たれば、何とかなります。
一番大変そうなのはa≦0、b≧0の場合。
この場合、fは-a≧0に関して対称だから、x≦-aだけ考えれば十分。
x≦-aではf(x)=|||x+a+b|+a|-b|であることが分かると、少し気が楽に。
この回答へのお礼
お礼日時:2011/04/17 23:18
ありがとうございます。
|x+a-b|=|x-(b-a)|が最大か最小のとき、これが可能なのはx=-a、b-a、1のどれか。
と考えていくのは、すばらしいと思いました。
No.2
- 回答日時:
aを
a<=-1,-1<a<0,a>=0
で場合分けして、-1≦x≦1で不等式が常に成り立つようなbの範囲を求めればよい。
実際に求めると
a<=-1の場合 0<=b<=-a
-1<a<0の場合 0<=b<=1
a>=0の場合 b>=a
と求まります。
これらを満たすa,bの範囲を(a,b)の存在領域として図示すれば添付図のようになります。
![「不等式||||x+a|-b|+a|-b|」の回答画像2](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/5/827568_5497e4fe8129a/M.jpg)
No.1
- 回答日時:
添付図は?
かなり地道だけど方法を一つ。
a、bの符号で場合分けして、左辺の最大値が1以下になる条件を求める。
例としてa≧0、b≧0の場合。
左辺が最大になるのは、|||x+a|-b|+a|が最小になる時。
|||x+a|-b|+a|が最小になるのは、||x+a|-b|が最小になる時。
||x+a|-b|が最小になるのは、
(1) |b-a|≦1で、x=b-aの時、最小値0
(2) |b-a|>1で、x=1の時、最小値|1+a-b|
のどっちか((2)は|x+a|のグラフを描くと分かりやすい)。
(1)の場合、不等式の左辺は|a-b|なので、成り立つ。
(2)の場合、
(2-1) a≦bで、|1+a-b|=(b-a)-1
(2-2) a>bで、|1+a-b|=1+a-b
のどっちか。
(2-1)の場合、左辺は1なので、成り立つ。
(2-2)の場合、左辺は1+2(a-b)>1なので、成り立たない。
この回答へのお礼
お礼日時:2011/04/15 21:23
ありがとうございます。
a,bがそれぞれ正か負で場合分けし、さらの絶対値の中身の最大や最小を考えて、絶対値をはずしていくのですね。
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