現在、古典制御の勉強をしている学生です。

ナイキストの安定判別法を勉強して、理論を一通り理解(?)でき、演習問題も解けるようになりました。

ただ、どうしても、ナイキストの安定判別法について数式・理論は理解できても"イメージ"ができません。

「伝達関数」、「周波数応答」、「ボード線図」、「一次遅れ」、などは、数式・理論に加えて、イメージでも理解しやすく、頭にスッと入ってきました。

しかし「ナイキスト線図」だけはイメージがまったくできません。

たとえば、「閉ループ伝達関数の極がs平面の左半面に存在する場合、ベクトル軌跡が(-1,j0)点をその左側にみれば安定、右側にみれば不安定」とありますが、
何をいってるのかは理解できました。しかし、「なぜ左側に見れば安定なの?」「なぜ右側だったら不安定なの?」「左側、右側からなぜ安定性がわかるのか」がイメージできません。

ナイキスト安定判別のイメージ(概念?)について、どなたか詳しく教えていただけないでしょうか?
もしくは、わかりやすいサイトがあれば教えていただけないでしょうか?

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古典 勉強」に関するQ&A: 古典の勉強について

A 回答 (3件)

開ループ伝達関数(閉ループではない)のベクトル軌跡が(-1,j0)点をその右側にみる場合、軌跡と横軸との交点を(-k,j0)点とするとk>1になります。


このとき、開ループ伝達関数は-kになります。
よって開ループ伝達関数にsinθを入力すると、その出力は-k sinθになります。
それをフィードバックすると、開ループ伝達関数への入力に-(-k sinθ)=k sinθが足されるので、(1+k)sinθが入力されることになります。
その出力は-k倍されるので、-k(1+k)sinθとなります。
それをまたフィードバックすると出力は、-k(1+k(1+k))sinθとなります。
つまり、フィードバックするたびに出力の振幅は、k, k+k*k, k+k*k+k*k*k,…となるのです。
k*k*k*…が∞にならないためには、k≦1でなければなりませんね。
ところがはじめに書いたように、(-1,j0)点をその右側にみる場合、k>1なので出力は∞(不安定)になるのです。
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マイクをスピーカに向けたときにハウリングが起こる事があります。


この状況が、(-1,j)の左側にある状況です。

マイクとスピーカの間にある音やスピーカのから発せられる雑音が、
マイク→増幅→スピーカ→マイク....を繰り返した結果その系の持つ
共振しやすい周波数で発振してしまったものがハウリングです。

発振の条件は、大雑把に言えば
(1)入力した信号よりも大きな信号が帰ってくる事
(2)入力信号と反射信号の位相がそろっている事

(1)を満足させる条件は、ベクトルの絶対値が1よりも大きい事で
(2)を満足させる条件は、帰ってきた信号が(0,0)よりも(-1,j0)側
にあることとなります。よって、(1)(2)の条件を満たすのが(-1,j)
の左側となります。

また、ナイキスト線図は、ボーデ線図の位相と振幅を複素平面に表したものなので
そちらから攻めるのも手かと考えます。ゲイン余裕が(1)の条件、位相余裕が(2)の条件
にあたります。(発振しているので余裕ではなく、発振の為のゲイン条件、位相条件かな?)

参考まで
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複素関数論の偏角の原理だから


そっちを調べてみたら.
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Q一巡伝達関数と開ループ伝達関数

一巡伝達関数と開ループ伝達関数は何が違うのでしょうか?
本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか?
インターネットでは一巡伝達関数と開ループ伝達関数は同一視していますが、私の学校の教科書では開ループ伝達関数はフィードバック系を取り除いたときのもの(すなわちC(S)P(S))、一巡伝達関数は閉ループ系を一巡したときのもの(すなわちC(S)P(S)H(S))となっています。

ご存じの方がいたらご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

教科書の定義が正しいです。

一巡伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、ループ全体一周する伝達関数で、ループの安定性(位相余裕など)なんかを調べるときに使います。

開ループ伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、入力と出力の比です。

つまり、ループを切り開いて考えるのは同じですが、一巡伝達関数がループを一周(フィードバックの要素も考える)のに対して、開ループ伝達関数は入力と出力の比です(したがってフィードバックの要素は考えない)。

フィードバックの要素がない場合には、2つは同じになります。

Qナイキスト線図

システムP(s)=1/(s^2+2*s+4)に、コントローラK(s)=5/(s+3)を加えたフィードバック系において
P(s)K(s)=5/(s^2+2*s)/(s+3)
s=j*ωとおいて
P(j*ω)K(j*ω)
=5/(-ω^2+2*j*ω+4)/(jω+3)
=5/(12-5ω^2+j*ω(10-ω^2))
ここまで求めたのですが、ナイキスト線図の描き方が分かりません。この後ゲイン余裕を求めるので安定であることは分かります。

Aベストアンサー

まずボード線図を書きます。おそらく位相は0度から-270度まで変化すると思うので、0度から順を追ってプロットして結べばナイキスト線図の概形が書けますす。

プロットの仕方は、位相を極座標の偏角、ゲインを動径とします。

後は座標軸との交点など特徴点を求めればよいでしょう。

Qフィードバック制御系の安定性について

フィードバック制御系の安定性について教えていただきたい事があります。

負帰還のフィードバック制御系を構成した際に閉ループ系での安定性を確認するのに、開ループでのボード線図においてゲインクロス周波数(ゲインが0dbとなる周波数)、位相クロス周波数(位相が-180度となる周波数)での位相余裕、ゲイン余裕から判定する方法がありますが、このゲインが0db以上でなおかつ位相が-180度以上回ったとき不安定になるという条件は、全周波数帯域において言えることでしょうか?
というのも、どこかでこの安定判別はゲインクロス周波数以上の周波数で評価するように聞いた覚えがありましたので。
システムによっては開ループのボード線図が、コントローラによって低域ゲイン0db以上に持ち上げたゲインクロス周波数以前の制御帯域内において位相が-180度を下回っているのですが、これは不安定で発振する可能性があるのでしょうか?
そもそもこの不安定は、入力した信号に対しコントローラ、プラントを通った出力信号の位相が入力信号に対して位相が180度ずれて出てきたものを負帰還でまたコントローラに入力するので、発生するものと理解しているのですが、だとすると制御帯域内であろうと開ループ特性で見ると同じように不安定条件を満たしていると思うのですがどうなのでしょうか?
ただ、そのときの閉ループのボード線図を見ると、制御帯域内においてはゲインが0dbでフラット、位相も0dbに整形されているので、不安定にならないような気がします。

どのように考えればいいのかわからず戸惑っています。制御に詳しい方、どうかご回答よろしくお願いいたします。

フィードバック制御系の安定性について教えていただきたい事があります。

負帰還のフィードバック制御系を構成した際に閉ループ系での安定性を確認するのに、開ループでのボード線図においてゲインクロス周波数(ゲインが0dbとなる周波数)、位相クロス周波数(位相が-180度となる周波数)での位相余裕、ゲイン余裕から判定する方法がありますが、このゲインが0db以上でなおかつ位相が-180度以上回ったとき不安定になるという条件は、全周波数帯域において言えることでしょうか?
というのも、どこかでこの安...続きを読む

Aベストアンサー

>程度の問題となると、ゲインクロスで位相がー180度以下に戻っていても発振する可能性はあるということでしょうか。

 あります。
 また、発振しないまでも、振動してなかなか収束しないとかもあります。

>開ループボード線図での安定性は何を指標にすればよいのかがよくわからなくなってしまいました。

 だから、基本はゲインが有るところではなるべくー180度近くになら無いようにする、及びゲインクロス周波数のところでは特に位相が回ってくるので注意して位相が遅れないようにする。(位相を戻す処理(回路)を入れる)
 ということでしょう。

Q制御:ゲイン余裕と位相余裕

制御理論に関しての質問です。

今、現代制御理論を一通り学び終えた後、古典制御理論を復習しているのですが、位相余裕(を考える動機)というものがよくわかりません。

ゲイン余裕は「あとどれだけゲインをあげられるか」なので、これは納得です。ゲインを上げて速応性を上げたいのだからどれだけあげられるかは確かに知りたいと思うのは自然なので。

一方、位相余裕は「あとどれだけ位相を遅らせられるか」と教科書にあるのですが、これがよくわかりません。位相を遅らせたい、という動機がそもそもよくわかりません。位相を遅らせることによってどんなメリットがあるのか、どういうときに遅らせたいと思うのか、教えて下さい。

Aベストアンサー

再登場です。いろいろと詳しく述べるとめちゃめちゃ長くなるので、必要な部分に関連したことだけ詳しく述べますね。ということで、色々省いちゃってるので、わからなかったらおっしゃってください☆

・最小位相系
安定なシステムで、かつ、不安定な零点をもたないシステムのことを言います。ゲイン線図が全く同じG1(不安定零点なし)とG2(不安定零点あり)という二つの伝達関数があるとします。このとき、ゲイン特性が全く同じでも、不安定零点をもつG2の方が、周波数による位相の推移(変化)が大きいんです。
ということで、不安定零点をもたないシステムを最小位相系と呼んでます。
そして重要なのは、この最小位相系では、「gainからphaseがユニークに決まる」のです(bodeさんが証明してくれてます)。
ゲインが-20[dB/dec]の一定傾き(つまり積分器)ならば、位相は-90[deg]になります。
ゲインの傾きが-40[dB/dec]ならば(1/s^2)、位相は-180[deg]で遅れてしまいます。
ゲインの傾きをa(aは定数。つまり傾き一定)だとしますと、20[dB/dec]=1で、a×(π/2)だけ位相が進むことが導けます。

つまり、
ゲインが負の傾き→位相が遅れる
ゲインが正の傾き→位相が進む
です。

・感度関数
おそらく教科書なんかに、フィードバック系における「制御対象の特性変動による影響」とか「外乱による出力への影響」とか「目標値入力に対する偏差」なんかは書かれているかと思います。
それに関係しているのが感度関数です。感度関数が低ければ、外乱が抑制でき、定常特性にも長け、パラメータ変動にも強くなります。

教科書なんかで上でいったような項目をみてみると、最終的に、一巡伝達関数をLとしますと、1/(1+L)といった関数が導かれているかと思います。これが感度関数(sensitivity function)です。
またこの式から、一巡伝達関数Lの大きさを上げれば、感度関数が小さくなっていくことがわかるかと思います。
前の回答の関係からいうと
低周波域でLの大きさを大きくする→このせいでLのゲインが負に傾いてしまう→位相が遅れる
です。

・相補感度関数
感度関数をS、相補感度関数をTとします。
すると、S+T=1を満足します(つまり、complementaryという意味で"相補"です)。
このTはL/(1+L)という形であらわせます。
よくみると目標値入力rから制御量yまでの伝達関数と一緒ですよね。
また、ノイズをn(フィードバックがかかっているところに入力する)だとすると、y=-Tnなので、この相補感度関数が小さいほど、ノイズの影響を低減することができます。
また、Lを下げれば、Tを下げることができることがわかるかと思います。

・制御系の型
一巡伝達関数Lに含まれている積分器の数がn個あったとします。
すると、これをn型の制御系と呼びます。
例えばL(s)=1/((s+1)s^2)は2型の制御系です。

型によって目標値に対する定常特性が決まります。
目標値rから偏差eまでの伝達関数は、感度関数(1/(1+L))になります。e=Sr=(1/1+L)rですね。
(これにラプラス変換での最終値定理を考えればあきらかですよね。)
理論上、
1型の制御系であれば、定常位置偏差(目標値r(s)=1/sに対する偏差)を0にできますし、
2型であれば、定常速度偏差(r(s)=1/s^2)まで0にできます。
実際は、摩擦などの影響で、偏差は残ってしまうことがあるようです。


・ゲイン交差周波数
これは言葉を知らないだけで、概念は恐らく知ってらっしゃるかと思います。
一巡伝達関数の大きさが1(0[dB])になるときの周波数です。
この周波数での一巡伝達関数の位相をもとに、位相余裕を算出しますよね。
この周波数で、もし一巡伝達関数の位相が進んでしまったら、ナイキストの安定判別法的にマズイです。(一巡伝達関数が-1より左にいっちゃいます)

・ロールオフ
高周波域におけるゲインの傾きのことをroll-off(ロールオフ)とよびます。ノイズは主に高周波域で入ってきます。なので、一巡伝達関数は、高周波域において、ゲインが急速に小さくなっていくのが望ましいんです。ですから、ゲインを負に大きく傾かせます。(先に述べたように、一巡伝達関数がさがれば、相補感度関数がさがり、ノイズの影響を低減できますよね)。
前回の回答の関係からいうと、
高周波域でLの傾きを大きく負にする(ロールオフ特性がよくなり、ノイズ低減)→しかし位相が遅れる
って感じです。


こんな感じでしょうか。。これで前の回答ある程度わかりますか…? 我ながらわかりにくい文章です^^; 何かわからない箇所があればおっしゃってください。

再登場です。いろいろと詳しく述べるとめちゃめちゃ長くなるので、必要な部分に関連したことだけ詳しく述べますね。ということで、色々省いちゃってるので、わからなかったらおっしゃってください☆

・最小位相系
安定なシステムで、かつ、不安定な零点をもたないシステムのことを言います。ゲイン線図が全く同じG1(不安定零点なし)とG2(不安定零点あり)という二つの伝達関数があるとします。このとき、ゲイン特性が全く同じでも、不安定零点をもつG2の方が、周波数による位相の推移(変化)が大きいんです...続きを読む

Q一次遅れ系の制御における時定数Tの求め方

計量士の資格を勉強していると自動制御の問題が出てきました。

単位ステップ応答は1-exp(t/T)である。
一次遅れ系の時定数Tの求め方として2つの方法がある。
一つは、1-exp(-t/T)が63.2%になったとき。
もう一つは、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの原点からの時間を求める。
とあります。
ここで質問なのですが、この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?

また単位インパルス応答はexp(-t/T)です。
これが36.8%になったとき時定数Tを求められることは知っているのですが、
同様に、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの
原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?

Aベストアンサー

>この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?
そうです。
t=Tとおくと、このときの振幅v(T)=1-exp(-T/T)=1-exp(-1)≒0.6321
と定常値の振幅1に対して0.6321は63.21%にあたります。

>原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?
求められます。

過渡応答曲線v(t)=exp(-t/T)に対して、t=0における接線は
u(t)=1-(t/T)ですので、u(t)=0(定常値)になる時間は
1-(t/T)=0からt=T(時定数)が求められます。
このときの振幅はv(T)=exp(-T/T)=exp(-1)≒0.3679
これは定常値(0)までの振幅1に対して36.79%にあたります。

Qナイキスト線図

ナイキスト線図の描き方は、
G(s) の s を jwとおき 
wが変わっていくときの 位相と振幅の値を 
複素数平面上に移していったもの。
と理解しています。

しかし、ナイキストでの安定の解説には、

“s領域の右半分(RHP)を囲み、
その囲んだ線上の各々の点をG(s)で写像したものがナイキスト線図”

ということになっていました。
この場合、jw軸上以外の点での写像は複素数平面上の
どこに現れるのでしょうか?

よろしくお願います。

Aベストアンサー

jω軸以外の部分では|s|=∞ですから、
G(s)で分母の次数が分母を上回る場合(なんて言いましたっけ?)では複素平面の原点にきます。

QExcelでのボード線図の描き方

カテ違いだったらすみません。
一次遅れ伝達関数のボード線図をExcelで描きたいのですが、Excelをほとんど使ったことがなく、どのような手順でやっていけばいいのかわかりません。
例えば、伝達関数が G(s)=1/(1+0.01s) で与えられていたとして、そのボード線図をExcelで描くことはできるのでしょうか?
もしできるなら、やり方が詳しく載っているサイト、またはやり方を教えていただきたいです。
初心者なので、本で調べてみてもよくわからなく、教えていただけても質問しかえすかもしれませんが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

出来ると思いますよ。
例えばセルに下記のように入力してください。

A1:X, B1:Y
A2: 0.01 B2:=1/(1+0.01*A2)
A3: 0.1 B3:=1/(1+0.01*A3)
A4: 1 B4:=1/(1+0.01*A4)
A5: 10 B5:=1/(1+0.01*A5)

上記のように入力すると、B列の各列は数値が算出されて表示されます。この状態でグラフを書いてみてください。

グラフは、入力した上記のセルのどこかを選んだ状態で、下記の通り選択し「形式」を選んだ後に完了を押せばOKです。
「挿入」→「グラフ」→「散布図」
ただし、この状態では、X軸が対数表示にはなっていません。X軸の数値を右クリックし、「軸の書式設定」画面を表示し、「目盛」タブをクリックしてください。下の方に「対数目盛を表示する」とありますので、これをクリックすればOKです。

No1の方の回答で
>EXCELで対数グラフはサポートされていません。
>従って単純にはできないと思います。
と書かれていますので、この操作の可否はバージョンに依存するかもしれません。ちなみに私のバージョンはXpですから、新しいバージョンであれば問題なくできると思います。

出来ると思いますよ。
例えばセルに下記のように入力してください。

A1:X, B1:Y
A2: 0.01 B2:=1/(1+0.01*A2)
A3: 0.1 B3:=1/(1+0.01*A3)
A4: 1 B4:=1/(1+0.01*A4)
A5: 10 B5:=1/(1+0.01*A5)

上記のように入力すると、B列の各列は数値が算出されて表示されます。この状態でグラフを書いてみてください。

グラフは、入力した上記のセルのどこかを選んだ状態で、下記の通り選択し「形式」を選んだ後に完了を押せばOKです。
「挿入」→「グラフ」→「散布図」
ただし、この状態では...続きを読む

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Q制御におけるゲイン、交差周波数(=速応性)の意味

サーボ系の制御についてなんですが、制御においてゲイン、交差周波数が表しているのが何なのか分かりません。
電子回路ならゲインは入出力の比の値であることはイメージできるんですが…

どうか説明をお願いします。

Aベストアンサー

>サーボ系の制御についてなんですが、制御においてゲイン、交差周波数が表しているのが何なのか分かりません。
>電子回路ならゲインは入出力の比の値であることはイメージできるんですが…

「ゲインは入出力の比の値である」のは電子回路と同様です。
「交差周波数」は、電子回路の場合なら(低域フィルタの)カットオフ周波数(3dBダウン点)に相当します。
たとえば低域フィルタのカットオフ周波数を2倍にすれば、ステップ波形を入力したときの応答波形が2倍に速くなりますね。

サーボ系でも同様です。参考ページの 2/4 ページの図2 や、そのコメントをご覧ください。
----------------------------------------------------------
[参考ページ]
 http://www.ube-k.ac.jp/~oki/class/5M-AutomaticControl/data/sec13_ans.pdf
>速応性: ゲイン交差角周波数が大きい(バンド幅が大きい)ほど良いが、大きすぎると外乱の影響も大きくなる。

>サーボ系の制御についてなんですが、制御においてゲイン、交差周波数が表しているのが何なのか分かりません。
>電子回路ならゲインは入出力の比の値であることはイメージできるんですが…

「ゲインは入出力の比の値である」のは電子回路と同様です。
「交差周波数」は、電子回路の場合なら(低域フィルタの)カットオフ周波数(3dBダウン点)に相当します。
たとえば低域フィルタのカットオフ周波数を2倍にすれば、ステップ波形を入力したときの応答波形が2倍に速くなりますね。

サーボ系でも同様です。参考...続きを読む

Qデルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

Aベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です


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