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○―――| |―――●―――| |―|
↑ C1 | C2 |
Vin R1 □ R2 □ ↑Vout
↓ | |
○―――――――●――――――|
CR直列回路やCR並列回路の位相差はベクトル図を用いて理解できたのですが、上のような回路のVinとVoutの位相差の求め方が分かりません。
ベクトル図を描こうにも、Vc2とVr2を書いたあたりから、R1とC1をどのようにしたら良いのか分からなくなってしまいます。
VinとVoutの位相差はどのようにして求めたらよいのでしょうか?
よろしくお願いします!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
単にインピーダンス比から伝達関数 (Vout/Vin)を求め、位相差を出せばいいだけ。
Vout/Vin
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*(R1//(R2+(1/jwC2)))
/((1/jwC1)+(R1//(R2+1/jwC2)))
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2))
/((1/jwC1)+R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2)))
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*jwC1R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2))
/(1+jwC1R1(1+jwC2R2)/(1+jwC2(R1+R2)))
=R2*jwC2/(1+iwC2R2)
*jwC1R1(1+jwC2R2)
/(1+jwC2(R1+R2)+jwC1R1(1+jwC2R2))
=R2*jwC2*jwC1R1
/(1-w^2C1C2R1R2+jw(C1R1+C2R1+C2R2))
=-R2*w^2C1C2R1/(1-w^2C1C2R1R2+jw(C1R1+C2R1+C2R2)))
従って位相角差θ
θ=π-arctan(w(C1R1+C2R1+C2R2)/(1-w^2C1C2R1R2))
計算が合っているかは保証の限りではありませんので
自分でフォローしてチェックしてみてください。
No.1
- 回答日時:
計算がエグいのでやり方だけ載せときます。
まず、定石どおり閉路解析法を用います。F行列やテブナン・ノートンの法則を使う方法もありますが、ややこしいので止めときます。
C1を流れる電流をI1、C2を流れる電流をI2(いずれも右向き)とすれば、
・Vin = I1/jωC1 + (I1-I2)R1
・0 = (I2-I1)R1 + I2/jωC2 + I2R2
となります。この二つを連立してI2を求めます。求めるべきVoutはR2にかかる電圧なので、計算の結果、次のように求まったとします。
・Vout = I2R2 = (P+jQ)/(R+jS) (P,Q,R,S は計算後の実数)
複素数は、次のように大きさ成分と角度成分に分離することが出来ます。(複素平面で考えれば納得できるはずです。)
・P+jQ = √(P^2+Q^2) * exp{j* arctan( Q/P )}
これを先ほどのVoutに適用すると、
・Vout = √{ (P^2+Q^2)/(R^2+S^2) }
* exp[ j*{ arctan(Q/P) - arctan(S/R) } ]
となります。位相差を求めるのが目的のようですので、前半の大きさ成分は無視して、
・(位相差)Φ = arctan(Q/P) - arctan(S/R)
更に、次の関係
・arctan(A) + arctan(B) = arctan{ (A+B)/(1-AB) } (おなじみtanの公式)
を用いれば、
・Φ = arctan{ (PQ-SP)/(PR+QS) }
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