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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
ステップ関数のフーリエ変換の式は上記のURLのように

πδ(ω)= 1/jω
と表されますが、この式には虚数項が存在します。
デジタル信号では1と0のステップ関数的な信号が扱われますが、この信号にフーリエ変換変換をかけるとどういう波形が見えるのでしょうか?

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URL 変換」に関するQ&A: 画像のURL変換

A 回答 (1件)

フーリエ変換した結果は、大きさと位相の二つの情報をもっています。


ですので、一本のグラフで表すことはできません。(いくつか条件があると、大きさと位相が1:1に対応するので、大きさのグラフだけで良くなったりしますが)
おおきさに着目すると、ステップ関数のフーリエ変換は、1/ωに比例(ωに反比例)します。
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Qsgn(x)のフーリエ変換

F[sgn(x)]=-2i∫[0 → ∞]sinωtdt までは導けたんですがこの先が分かりません。
どうなって、2/iωになるんでしょうか? 導出課程を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

次の計算が出来ればよいわけですよね。
∫[0←∞]exp(iωt)dt
これはf(z)=exp(iωz)とおき、f(z)の複素平面上で次のような経路に沿って積分することを考えればよいでしょう。

R>0として
1.z:0→R  (実軸上での積分)
2.z:R→iR ("0"を中心とした半径Rの円周上を反時計回りに1/4周する線上での積分)
3.z:iR→0 (虚数軸上での積分)

exp(iωz)は複素平面上全ての点で正則ですので、1.2.3の経路を1周するとその積分値は"0"になります。
つまり、1.2.3のそれぞれの経路で積分した値をI1(R),I2(R),I3(R)とすると
I1(R)+I2(R)+I3R)=0
となります。

I1(R),I2(R),I3(R)はそれぞれ次のような式になります。

I1(R)=∫[0→R]exp(iωt)dt
I2(R)=∫[0→π/4]exp{iωR*exp(iθ)}*iexp(iθ)dθ
I3(R)=∫[R→0]exp(-ωt)*idt

ここでR→∞とすると
I1(R)→∫[0→∞]exp(iωt)dt
I3(R)→-i∫[0→∞]exp(-ωt)dt
となります。I2(R)はR→∞で"0"に収束します。(証明は面倒なのでご自分でご確認ください)

以上のことから
∫[0→∞]exp(iωt)dt-i∫[0→∞]exp(-ωt)dt=0
がわかり、後ろの積分は簡単に計算できると思います。

∫[-∞→0]-exp(iωt)dtについては上に上げた経路を虚数軸に対して対称にした経路で積分すると良いでしょう。

次の計算が出来ればよいわけですよね。
∫[0←∞]exp(iωt)dt
これはf(z)=exp(iωz)とおき、f(z)の複素平面上で次のような経路に沿って積分することを考えればよいでしょう。

R>0として
1.z:0→R  (実軸上での積分)
2.z:R→iR ("0"を中心とした半径Rの円周上を反時計回りに1/4周する線上での積分)
3.z:iR→0 (虚数軸上での積分)

exp(iωz)は複素平面上全ての点で正則ですので、1.2.3の経路を1周するとその積分値は"0"になります。
つまり、1.2.3のそれぞれの経路で積分した値をI1(R),I2(R),I3(R)とすると
I1(R)+I2(...続きを読む

Qステップ応答の周波数特性による解析方法について

制御工学において、伝達関数のsにjωを代入して得られる周波数特性からステップ応答波形を予測するときに疑問があります。
 例えば、周波数特性でω=ω1のときに、ゲインが1/5になり、位相遅れが40°であるような伝達関数があるとします。そこに、sin(ω1t)という信号を入れたら定常状態では出力が1/5×sin(ωt-40°)になりますよね。でもそれは定常状態での話であって、当然過渡状態では違う出力が出ると思うんです。
 で、ステップ応答っていうのは、別に時刻0秒に立ち上がってもいいじゃないですか?つまり、ステップ応答を正弦波の重ね合わせで捕らえた場合、その一つ一つの波は0秒付近では過渡状態にあると思うんです。なのに、定常状態でのゲイン利得や位相特性をつかって、オーバーシュートやリンキングの解析をするところに納得ができません。
 確かに、十分時間がたった後の方形波において、周波数特性から解析するのは納得です。十分時間が立てば、一つ一つの波は定常状態なので、位相特性やゲイン利得をそのまま適用できるからです。なのに、なんで普通のステップ応答にも適用できるのでしょうか?
 すいません。文章が下手なもので、質問の意図を理解してもらえないかもしれませんが、どなたかお願いします。

制御工学において、伝達関数のsにjωを代入して得られる周波数特性からステップ応答波形を予測するときに疑問があります。
 例えば、周波数特性でω=ω1のときに、ゲインが1/5になり、位相遅れが40°であるような伝達関数があるとします。そこに、sin(ω1t)という信号を入れたら定常状態では出力が1/5×sin(ωt-40°)になりますよね。でもそれは定常状態での話であって、当然過渡状態では違う出力が出ると思うんです。
 で、ステップ応答っていうのは、別に時刻0秒に立ち上がってもいいじゃないですか?つまり、...続きを読む

Aベストアンサー

No.5です。
No.6さん、No.7さんの欄「この回答への補足」(by 質問者さん)の記事に簡単にコメントします。

既に御自身で理解されている[10)]ように、平たく言えば「0~1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」ということで結構ではないでしょうか。(ただし、この例では、時間の単位は秒ではなく μsec(マイクロ秒)ですが)
引用してあるWEBのページの筆者が、質問者さんみたいに深く考える人を想定していなかっただけのことです。しかし、別に、その筆者が良くないわけでもありません。
方形波の周波数がフィルタの折れ点(コーナー周波数)よりもかなり低い場合には、近似的に上記の考え方は成り立っていますので、OKです。
ただし、厳密には、0Vからはじめて方形波を印加した場合の、最初の部分と、定常状態になった後の部分では、方形波の立ち上がりの波形は違います。たとえば、方形波が正負対称な波形ではなくて、0Vと1Vの(DC成分をもった)波形を考えれば、DC成分の過渡状態が明確に現れますので、違いを理解しやすいかと思います。

質問者さんが疑問に思われたことへの、ひとつの厳密な回答例として、形は少し異なりますが、関口忠『電気回路II』(オーム社、現代電気工学講座)p50~p59に解説があります。図書館にでもあれば、参考にしてみてください。

No.5です。
No.6さん、No.7さんの欄「この回答への補足」(by 質問者さん)の記事に簡単にコメントします。

既に御自身で理解されている[10)]ように、平たく言えば「0~1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」ということで結構ではないでしょうか。(ただし、この例では、時間の単位は秒ではなく μsec(マイクロ秒)ですが)
引用してあるWEBのページの筆者が、質問者さんみたいに深く考える人を想定していなかっただけのことです。しかし、別...続きを読む

Qcos(wt)のフーリエ変換について

g(t)=cos(wt)
をフーリエ変換したいのですが、
F[{exp(jwt)+exp(-jwt)}/2]
=F[exp(jwt)]/2+F[exp(-jwt)]/2

まではわかったのですが、この後どう進めればいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞]f(t)e^(-j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt ((B)を代入)
(A)からF(f)=δ(f)なので
 ∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt =δ(f)
この左辺でt=-t'と置換すると
 左辺=∫[-∞,∞] e^(j2πft')dt'=δ(-f)
が出てきます。
 この式で -f=f'と置換し、f',t'を改めてf,tと書くと
 左辺=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt=δ(f)
が出てきます。
以上から
δ(f)=δ(-f)=∫[-∞,∞] e^(j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt
という関係があることが分かります。

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞...続きを読む

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q連成振動に関する質問です

連成振動に関する質問です

鉛直方向にk1、m、k2、M の順にばねと重りがつなげられている問題なのですが(ばね定数と質量を表します。mのほうをA、MのほうをB)
下向きを正とするとき

・運動方程式は
mYa'' = -(k1 + k2)Ya + k2Yb
MYb'' = -(k1 + k2)Yb
で大丈夫ですか?

・この振動の固有振動数と固有振動モードの求め方を教えてください。
検索したのですが、いまいち固有振動モードという考え方がわかりません。

Aベストアンサー

モードの意味を理解していただくために,動画を添付します。

左2つが,2つのモードが実現するような初期条件を選んだ場合。右端は,適当な初期条件を選んでモードの重ねあわせになっている場合です。

https://www.youtube.com/watch?v=ejSCLfdrzk0

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Qフーリエ変換について質問です。

フーリエ変換について質問です。
定義関数
sgn(t)=-1 [t<0]
     1 [t>0]
をフーリエ変換できません。
わかる方がいましたら参考にさせて頂きたいです。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

直接計算するのは,困難かもしれません。
Fourier逆変換を利用する方法を添付いたします。
(*)式の ∫[-∞,∞] {exp[i y]/ y }dy=πi の導出ですが,必要があれば,お手数ですが次のページで画像をクリックしてください。
http://blog.goo.ne.jp/gotouikusa/e/fbc276d3ff845a882498d04d150c485c
ご参考になれば幸いです。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


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