コンデンサのインピーダンスについて

Question

コンデンサに加える交流電圧をV = Aexp(jwt)とすると、コンデンサーのインピーダンスがZ = 1/jwCになるようです。計算結果については納得できるのですが、ここで、幾つかの質問があります。回答をお願いします。

(1) 1/jwCは虚部で、実部は0だから、インピーダンスは0になってしまうのではないでしょうか？

(2) ためしに交流電圧をAexp(jwt)の実部Acos(wt)で計算すると、正しい結果になりません。何が問題ですか？

《計算過程》
    V = Acos(wt) とすると、
    I = C(dV/dt) = CA(d/dt(cos(wt))) = -CwAsin(wt)
    Z = V/I = -cos(wt)/Cwsin(wt)

【V: 電圧、I: 電流、Z: インピーダンス、w: 各周波数、C: コンデンサの容量】

oyaoya65 · Accepted Answer

#2です。
＞(3) 『I = jwCEは、Eに対してIの位相が９０度進む』とありますが、複素平面を考えると、jをかけることは、９０度時計周りに回転することのように思えます。時計まわりに回転するということは、Eに対してIの位相が遅れるというイメージになりますが、どこで考え違いをしているのでしょうか。

複素平面（位相空間（フェイザー）、ベクトル空間（交流理論））での電気量（電圧、電流、インピーダンスなど）と
時間領域での電気量（v(t),i(t),R,Ldi(t)/dt,(1/c)∫u(t)dt）との関係を正しく理解しないといけませんね。

複素平面で電気量を扱うときは
その対応関係で
v(t)=(√2)Vrms cos (wt + 0)
としたとき
i(t)=(√2)Irms cos(wt +θ)
だとします。
これを複素（ベクトル）空間では
V=Vrms e^(j0)
I=Irms e^(jθ)
と書きます。rms=root mean square(実効値：自乗平均値の√)のことこの添え字をつけた電気量を実効値での電気量ということです。混乱しない場合はrmsの添え字は省略されることが多いですね。

実際はベクトル空間では e^(jwt)の項、つまり時間領域のwtの項を省略した書き方、
さらに言い換えるとe^(jwt)は角速度w[rad/s]で回転する位相項 wt[rad]を省略して書き方
つまり角速度w[rad/s]で反時計回りに回転する回転座標系での電気量を実効値と位相のwt項を省いた量で扱っている分けです。

V=Vrms e^(j0)はv(t)の位相を基準（位相＝０のこと）として、他の電圧や電流の位相を相対的に扱うということです。
つまり、時間領域の量に戻す際は、v(t)の位相を基準(位相=0)として扱うということです。
つまり、
v(t)=(√2)Vrms cos wt　← Re{(√2)Vrms e^(jwt)}
または
v(t)=(√2)Vrms sin wt　← Im{(√2)Vrms e^(jwt)}
と　wtと実効値を最大値に戻す√2が復活するわけです。

電流の場合は
I=Irms e^(jθ)
で
回転座標系での位相項 e^(jθ)　に対して実際の固定座標系での位相項は e^j(wt+θ)となります。
したがって
V=Vrms e^(j0) ←　j0はv(t)の位相を基準（位相=0）に取っているということを表す表記の仕方です。e^(j0)=1でこの項は式的な影響はないですか、すべての電気量の位相の基準にVの位相を定めているという重要な表現なのです。他の電流や電圧の位相はこの基準位相からの差分（遅れ、進み）で表すのですね。

V=Vrms　e^(j0) ⇔ v(t)=(√2)Vrms cos wt
の時は
I=Irms e^(jθ)　⇔ i(t)=(√2)Irms cos (wt+θ)
              θ＝位相進み(t=0の時既に位相がθ）
（時間軸上で 電圧の基準位相に対してcosの波形が左にずれている。←位相進み）

V=Vrms　e^(j0) ⇔ v(t)=(√2)Vrms sin wt
の時は
I=Irms e^(jθ)　⇔ i(t)=(√2)Irms sin (wt+θ)
              θ＝位相進み(t=0の時既に位相がθ）
となります。

＞(4) 『V=Ae^(j0)』とありますが、j0とは何のことですか。

上に既に説明していますが、対象としている電気回路での各端子間の電圧や回路電流の位相の基準(つまり位相をゼロと置く）が
V=A e^(j0) と置いたこの電圧Vが位相の基準にとって考えるという意味で、他の回路の部分の電圧や電流の位相はこの基準の電圧V の位相からの相対位相（プラスであれば位相進み、マイナスであれば位相遅れ）で表すのです。電気回路のすべての電気量の基準位相となる複素領域の電気量に　e^(j0)　をつけて表します。
e^(j0)自体は
e^(j0)=cos(0) + j sin(0) =1
で意味はありません（実数の1ですから）。

torahuzuku · Answer

今日は。教科書で交流電圧や交流電流の瞬時値が、　　v=Vcos(ωt), や　i=Icos(ωt) のように表記される事が有りますが、この式が電圧や電流の瞬時値の指数関数表示式、
　v=Vexp(ωt)=V{cos(ωt)+jsin(ωt)}
　i=Iexp(ωt)=I{cos(ωt)+jsin(ωt)}　でt=0とした時、虚部が消えて残った実部と同じ式になる事による勘違いかと思います。

電圧や電流の瞬時値は常に上式の虚部で表されます。交流波形の理解ために考え出されたフェザーと呼ばれる回転棒が複素平面に映し出す垂直軸上の影が瞬時値を示し、フェザーその物の長さが電圧や電流の時間に関係しない最大値を表していると考えると解り易いです。

交流電圧、交流電流を2本のフェザーV,I(これらの位相差をθとします)で表すと、これらは大きさが一定のまま時刻t=0の時のV,Iの位置から出発して、tとともに角速度ωで反時計方向に回転することになります。すなわち、それぞれの偏角θ_Vt,θ_Itは時刻tが０の瞬間のθ_V,θ_Iの値から出発して時刻tに比例してωtの形で増加して行きます。式で表すと次のようになります。
　V_t=Vexpjθ_Vt=Vexpj(θ_V+ωt)  θ_Vt=θ_V+ωt
　I_t=Iexpjθ_It=Iexpj(θ_I+ωt)　θ_It=θ_I+ωt　です
また　θ_Vt-θ_It=θ_V-θ_I=θ　です。
ここでインピーダンスZはV_tとI_tの比ですから、次式のように、時刻tに関したωtの項が約されて消えてしまうので、ZはV_tやI_tのようには回転しないことが解ります。
　Z=V_t/I_t=Vexpj(θ_V+ωt)/Iexpj(θ_I+ωt)=V*expj(θ_V-θ_I)/I=V*expjθ/I　となりθが消えてしまっています。以上がNo1さんのお礼に書かれた、
＞何故、複素表記でインピーダンスを計算すると、実効値を意識せずとも、時間tが消えてしまうのか。の疑問の解決になれば幸いです。

なお、No3さんのご指摘のように　v=Vsinωt　のとき
　i=dq/dt=C・dv/dt=ωCVcosωt=Icosωt=Isin(ωt+π/2)　(ωCV=I)となり、電流の位相が90度(π/2）だけ電圧より進む事が解ります。

ruto · Answer

この辺の計算を解説したHPがありますので紹介します。
質問者のV＝A・cos（ωｔ）はｔ＝0の時Aになり、勘違いしやすい。V＝A・sin（ωｔ）にして計算した方がやりやすいと思います。電圧を基準にして考えると、電流が９０度進んでおればZは１／ｊωCになるはずです。

参考URL：http://www.geocities.jp/mizuttt/sinabc.htm

oyaoya65 · Answer

(1)#1さんの回答どおり、インピーダンスは複素領域で定義された量です。
インピーダンスZ=R+jXの定義を教科書や電気回路等で確認してみてください。（もともとインピーダンスは交流回路の解析を直流のように加減乗除算で出来るようにするために考案された概念です。）

＞インピーダンスは0になってしまうのではないでしょうか？
インピーダンスZ＝R+jX
インピーダンスの絶対値|Z|＝√(R^2+X^2)
インピーダンスZの実部Re(Z)=R
これらを区別するようにしてください。
文面からするとRe(Z)=Rをインピーダンスと勘違いされているようですね。
コンデンサーの場合
インピーダンスZ=1/(jwC)　（純虚数）
インピーダンスの実部（レジスタンス）Re(Z)=0
インピーダンスの絶対値|Z|=1/(wC)
です。

(2)
＞実部Acos(wt)で計算すると、正しい結果になりません。何が問題ですか？
インピーダンスZの概念を正確に理解されていないことが問題ですね。
Z=1/(jwC)
I = E/Z = jwCE = wCE・e^(iπ/2)
これらの計算は複素領域（jw領域）での計算です。
上式の意味するところは
■Eに対してIの大きさが電圧の1/|Z|=wC倍、Iの位相が90°（=π/2rad）進む■
ということです。

＞《計算過程》
＞V = Acos(wt) とすると、
＞I = C(dV/dt) = CA(d/dt(cos(wt))) = -CwAsin(wt)

    = wC Acos{wt+(π/2)}
これは上の■～■で囲んだ内容と全く同じで矛盾していませんね。

ここまでは時間領域（t領域）での話しです。

＞Z = V/I = -cos(wt)/Cwsin(wt)
この式は時間領域と複素領域を全くちゃんぽんにした式で、全く複素領域で定義されたインピーダンスと時間領域の式を同じ式で扱っているおかしな間違った式です。

VとIを時間領域で扱っているのか、複素領域で扱っているのか正しく区別されていないところが問題です。

VとIを複素領域で扱っている場合は
Z=V/Iが成り立ちます。
このときのV,Iは
V=Ae^(j0),
I=V/Z=V(jwC)=wCAe^(jπ/2)
とすべきです。
これを時間領域に直せば
I=wCAcos{wt+(π/2)}となりますね。

＞Z=E/I=-cos(wt)/Cwsin(wt)
この式は
Z=E/Iは複素領域で扱う式で
E/I=-cos(wt)/Cwsin(wt) は時間領域の式です。
E/Iを媒介に
Z=-cos(wt)/Cwsin(wt)
と導かれていますが左辺のZは複素領域で定義された量です。
右辺が時間領域の量です。
つまり
Z=R+jX=v(t)/i(t)
と言った間違った意味のない式となっているわけです。
時間領域の電圧を電流で割っても複素領域のインピーダンスZにはなりませんよ。

インピーダンスの定義と複素領域と時間領域での電圧、電流の表現の仕方をもう一度復習してみてください。

foobar · Answer

1. インピーダンスの大きさ、と言うときには絶対値をとりますので、
｜Z｜＝|1/jwC|=1/wC ということになるかと。

2. 複素インピーダンスを扱うときには、V=Acos(wt)のような実数領域での瞬時値表記では扱えません。

強引に扱うとすると、瞬時値も複素表記にして、
v=Acos(wt)=Re[Aexp(jwt)]=Re[Vexp(jwt)], V=A
i=Cdv/dt=Re[ACjwexp(jwt)]=Re[Iexp(jwt)],I=jwCA
Z=V/I=1/jwC
とやる必要があるかと。(V,Iにした時点で、瞬時値表記では無くなっている点に留意)

コンデンサのインピーダンスについて

#2です。

今日は。

この辺の計算を解説したHPがありますので紹介します。

(1)#1さんの回答どおり、インピーダンスは複素領域で定義された量です。

1. インピーダンスの大きさ、と言うときには絶対値をとりますので、

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