数学(不等式、二次関数)

3A ＋2B　≧130
4A ＋5B ≧220

A及びBは以上の式を満たす。

かつ、
12A ＋10B の値が最大になるAとBの値を求めよ。

たぶんグラフに落として解くのかしら？

お詳しい方、回答願います。

No.2 ベストアンサー 回答者： katiguse07 回答日時： 2011/04/18 22:03

まずどちらかをＸ，Ｙと見立ててときましょう。

Ａ＝Ｘ　Ｂ＝Ｙとしておきますね。

３Ｘ＋２Ｙ≧１３０　…１

４Ｘ＋５Ｙ≧２２０　…２

ですね。Ｘを右へ移すと、

　　　　２Ｙ≧１３０－３Ｘ　→　Ｙ≧６５－３/２Ｘ・・・(1)
　　　　５Ｙ≧２２０－４Ｘ　→　Ｙ≧４４－４/５Ｘ・・・(2)

そして、この二つをグラフに表すと、丁度、第２ショウげん
↑側と、やや１ショウゲンを含む領域が、Ｙの取りうる範囲ですね。

この中から、１２Ａ＋１０Ｂが最大になるとするとき、
この１２Ａ＋１０Ｂも同様に、１２Ｘ+１０Ｙとなりますよね。

まずここで大事なことは、上の２式。１．２の交点を求めます。

なぜなら、(1)．(2)はいずれも傾きが－で切片より右下がりです。
ということは、Ｙの取りうる最小値は、図から明らかなように、
(1)と(2)または１．２の交点におけるＹ座標だからです。

これを求めると、（Ｘ．Ｙ）＝（３０．２０）となり、
Ｙの最小値は２０となりますね。

Ｙがこれ以上をできるだけ取るようにすれば、１２Ａ＋１０Ｂも
最大になるということになります。
しかしそうはいっても、何となくあたりをつければ、Ｙの領域のうち、
Ｘの係数の方が
Ｙの係数よりも大きいですから、Ｘ＜０にいけばいくほどＹの
値も大きくなりますが、結局Ｘの－の絶対値が大きく
なってしまいますので、Ｘ＞０であることは最低条件
ではないでしょうか。

とすれば、逆に、Ｘが大きければ大きいほど最大になる。と
いえるのではないでしょうか。
したがって、Ｘ・３０　Ｙ・２０のときが、一番１２Ａ+10B
も、大きくなる時だということです。

つまり、１２・３０＋１０・２０＝５６０で、これこそが最大値
だろうと思います。

Ｙの最小値の交点で最大値が出てしまうから、Ｙの最大値は
必要ないってことになっちゃうんですね。

Ｘが最大の時実は上記の式も最大になるということを
見抜く事がポイントでしょうか。

自分も何やら自信がないですが、一つの考え方として
お受け取りください。

No.1 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/04/18 21:15

最大値はない気がします。

不等号逆だったり、最大にする関数が違ってたりしたら、あるかも。
それと、タイトルの二次関数ってのが気になるけど、どうですか。

図形見ながら考えるのは、いい手です。

典型的な（?）筋道はこんな感じ↓。
平面上に不等式を満たす点(A, B)の領域と、関数の等高線を示し、関数の値が増加する方向に等高線を動かす。
領域と等高線がぎりぎり交わる限界まで動かしたら、その交点（共通部分）で最大になる。

この回答へのお礼

ご指摘どおり、不等号を逆にしたら解けました！　

回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/04/18 22:37