無限級数 C^∞級 意味

マクローリン展開を勉強していてちょっと分からない点が
あるので質問させて下さい。

無限級数とは、Σ[k=1~∞]akのような級数の事だと認識しています。
因みに、級数とは数列a1,a2・・・akを加法で結んだものだと認識しています。

C^∞級とは、f(x)無限階微分可能かつf^∞(x)が連続である事だと認識しています。

上記認識で正しいでしょうか?

また、マクローリン展開の余剰項が理解できていないので教えて下さい。
e^xのマクローリン展開すると、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
となります。
n次以上の余剰項をどのように表してよいか分からないので
すが、余剰項について詳しく教えて頂けないでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

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A 回答 (7件)

ちょっと機械的だけど、補足質問に一つずつ答えます。




「e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
が同じである事が理解出来ないので、気持ち悪いと書かせて
頂きました。」

それは、e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))が成り立つということが既に分かってるんであれば、簡単ですよ。

剰余項R(n+1)(ここではこの記号で行きます)のそもそもの定義は、
R(n+1)=e^x-(1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n) …(1)
である、と考えればいい。
だから、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1) …(2)
は自明です。
だから、e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))と級数展開できることが分かってれば、全てのnについて、
1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)=Σ[k=0~∞]((x^k)/(k!))
が成り立つのも当たり前のことです。

この話には注意すべき点がもちろんあります。

まず、テイラーの定理は、(2)のような自明な関係を述べてるだけのものじゃありません。
R(n+1)が、(1)とは違う、自明でない、意味のある式表現(というか、R(n+1)がとりうる値の範囲かな)を持ってることを、述べてますよね。
alice_44さんが言ってるように、R(n+1)にはいくつかの式表現があります。
どれも、(1)で定義される、e^xとn次マクローリン多項式との差の、評価の仕方であるということです。

また、級数展開可能性は、(2)において
lim[n→∞] R(n+1)=0 …(3)
であることを確かめないと、分かりません。
だから、上のように級数展開可能性を前提として議論するんじゃなくて、剰余項を定義し、その値を評価し(テイラーの定理)、その極限によって、級数展開可能性の条件を求める、というのが普通の話の順序です。



「e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
なぜ、n+1だけ剰余項として記載されるのでしょうか?」

そもそも、R(n+1)が(1)で定義されてるから、各nについて、(2)のような表現ができる、ということに過ぎない。



「e^xはC^∞級なのに、n+1乗で終わっているのが理解できない
点です。」

これも上と同じ。
全てのnについて(2)のように書けることは、無限級数で表せることを、意味しません。
(3)がないとダメです。
kabaokabaさんの回答を読み直してください。



「また、C^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?」

つまり、y=x^2(xは実数)ですか?
これはC^1級だし、C^∞級でもあります。
1階微分できて1階導関数が連続なだけでなく、何回でも微分できますよね。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

級数展開の可能性は剰余項、lim[n→∞] R(n+1)=0であることを確かめ
なければならないことは理解できました。
※以下で話す関数は、全て級数展開可能とします。

C^n級とは、n階微分可能な関数を意味しますよね。
C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか?

剰余項について、
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))・・・A
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)・・・B
AとBが等価なのが理解できません。
AはΣの範囲が∞です。Bは任意の自然数nです。

e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)とすれば、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)は自明ですが、
私が理解出来ない点は、AはΣの範囲を∞ととって表現しているのに、
Bは任意の自然数nまで級数展開して、それ以降を剰余項で表しています。
Bは無限級数展開可能であるのに、n+1で打ち切っているのが理解出来ない点です。



>「また、C^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?」
すいません。質問が悪いでした。
y=|x|はx=0で微分可能でありません。
つまり、y=|x|はC^0級だと認識しています。
そこで、y=|x|^2はx=0で一階微分できるので、C^1級と考えました。
この考えはおかしいでしょうか?


以上、本当に何度も申し訳ないのですがご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/25 11:46
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
新しく質問させて頂きますので、よろしければご回答よろしくお願い致します。

お礼日時:2011/04/26 09:49

気持ち悪いって、どういう意味でしょう。



記号R(x^(n+1))が気持ち悪い→これは確かにちょっと気持ち悪い。
R_(n+1)(x)とかの方がいいんじゃないでしょうか。
剰余項が何に依存してるか考えて、いいのを選んでください。

級数じゃなくてn次多項式と剰余項の和で表すのが気持ち悪い→指数関数のように級数展開可能な関数については、気持ちいい方でどうぞ。
n+1階微分可能な関数はn次テイラー(マクローリン)多項式と剰余項の和で表せる、というのは、単に、1つの定理(テイラーの定理)の内容です。
定理が一般のC^∞級関数について含意するのは、全てのnについて上のことが成り立つ、ということだけ。
級数展開可能性を含意してはいません。
級数展開不可能または級数展開可能か未証明の関数について、級数表現と、n次多項式+剰余項とを、等しいかのように扱うのはまずいでしょう?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
は同じである事は理解できます。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
が同じである事が理解出来ないので、気持ち悪いと書かせて
頂きました。

e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
なぜ、n+1だけ剰余項として記載されるのでしょうか?

e^xはC^∞級なのに、n+1乗で終わっているのが理解できない
点です。

また、C^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?

お手数をお掛けしますが、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2011/04/22 16:22
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端的にいってしまえば



自分勝手に定義をでっち上げるのはやめて
一般的な定義(広く認知されている定義)を
きちんとした書籍で勉強しなさいな

これに尽きます.岩波の解析概論で文句を言う人はいないだろうから
そういう本を読みましょう.

それと無限というものを数と同じように扱ってはいけません.
ですので,

>C^∞級とは、f(x)無限階微分可能かつf^∞(x)が連続である事だと認識しています

こんな認識は論外です.
関数fがC^∞級であるとは,
「任意の自然数nに対して,fのn階導関数f^{(n)}が存在することをいう」
です.任意の自然数でOKなのだから
n+1階のf^{(n+1)}も存在するので必然的にf^{(n)}も連続です.
決して「無限回微分可能」のような「怪しい」無限は定義には含まれません.
記号としてイメージしやすいのでC^∞というような表現をするだけです.

勘違いしてそうなので,ついでにいうと,関数がC^∞級であることと
級数展開可能であることは同義ではありません.
たとえば
f(x) = e^{-1/x} (x>0)
f(x) = 0 (x<=0)
という関数はC^∞ですが,x=0で級数展開できません(背理法で示す).
展開できる関数はC^∞よりももっと小さくてC^ω級と呼ばれます(解析関数という).

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
C^ω級という表現を見かけたことがあります。
級数展開可能であることを示すのですね。
C^∞級は常に級数展開可能だと考えてました・・・
ありがとうございます。

e^xは一般的には、C^∞級と表現されるのでしょうか?
それとも、C^ω級と表現されるのでしょうか?
立場によってそれぞれ使い分けられるのでしょうか?


他の方にも補足質問させて頂いたのですが、
C^n級はn階微分可能という事ですよね。
C^∞級とC^n級の違いってなんなのでしょうか?
任意階微分とn階微分って同じように思うのですが・・・

ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/21 16:59
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第一点:


級数を無限個の加法と解釈できるのは、
級数が絶対収束する場合だけです。
条件収束する場合には、単に
部分和の極限と考えるに留めるべきです。

第二点:
C^∞級は、無限階微分可能ではなく、任意階微分可能です。
何回微分してもよいけれど、微分する回数は有限であり、
f^∞なんてものが定義される訳ではありません。

第三点:
テーラーの定理について調べてみれば、
たいていの文献に、剰余項の表現が2~3種書いてあります。
Wikipedia程度のモノにもちゃんと書いてあるから、
googleなどで探してみるとよいでしょう。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
勉強になります。

C^∞級は任意階微分可能は理解しました。
C^n級はn階微分可能という事ですよね。
C^∞級とC^n級の違いってなんなのでしょうか?
任意階微分とn階微分って同じように思うのですが・・・

また,C^1級関数とは、1階微分可能な関数だと
認識しています。
C^1級関数の例としてu = -x^2 + 3xy^3が挙
げらているのですが、多項式の関数はC^∞級
ではないでしょうか?

例えばC^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?


また、
マクローリン展開 微分
http://okwave.jp/qa/q6660665.html

極限値 問題
http://okwave.jp/qa/q6677152.html

にも、補足質問させて頂きましたのでご回答頂けないでしょうか?

ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/21 16:51
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f^(∞)


これは、Tacosanさんが言ってるように、定義されてないと思います。
無限階微分だと言うけれど、それも同様です。
試しに
f^(∞)=lim[n→∞] f^(n)
みたいに定義してもいいけど。
でもこの右辺は、(たとえfがC^∞級でも)連続うんぬん以前に、収束しないこともある。

剰余項
ここの補足質問の意味が分かりませんでした。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
これ、右辺の最後を・・・としてるのは剰余項を省略してるのか、それともn以降もずっと続く無限級数なのでしょうか。
どっちにせよ、剰余項の式は、e^xの、n次マクローリン多項式では表しきれてない剰余の部分を、評価しやすい形で表現してるからこそ、意味があると思います。
剰余項を見れば、極限を考えずにn次までで切ってもこれくらいe^xの値に近い、というのが分かるじゃないですか。
それに、この剰余項がn→∞の極限で0に行くかどうかが、級数展開可能性で肝心なわけなので。

マクローリン展開
単にマクローリン展開と言われたら、マクローリン級数で表せばいいんでしょう。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
この2つは同じなので、一方が良くて他方がダメってことはない。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
勝手にf^(∞)と書いてしまい、すいません・・・
駄目だという事がわかりました。

剰余項に関しては、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
とn次以上を・・・と表記しました。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
は、n+1乗だけ記載するのがなんだか気持ち悪いです。
理由を教えて頂けますか?
e^xは、∞級数だと認識しています。

ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/21 16:55
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f^∞(x) はダメ. f^(∞)(x) と書こうと (d^∞/dx^∞)f(x) と書こうとだめなものはダメ. いずれにしても定義されていない. もちろん「あなたが定義すればいい」んだけどね.



あとマクローリン展開の剰余項で n+1乗だけを考えるのは, 「x が 0 に近い」ことを念頭に置いているから. 0 に近い x に対して
|x|^(n+1) > |x|^(n+2) > |x|^(n+3) > ...
でしょ?
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正しい認識を持ってるか、自分自身、自信ないです。


自分の認識も正されるのを期待して…。


無限級数とはそういうもの↓

Σ[k=1~∞] ak あるいはa1+a2+a3+...

で、級数という言葉も無限級数を指すことが多い。

有限個の項の和は、個人的には単に「和」って言ってます。
こういうのは、級数とか有限級数とか呼んだりは、個人的にはしてこなかったなあ。
級数は和の極限だから、やっぱり和とは別物って感じがするし。
強調の必要あり、と思ったら、有限和とは言うけど。
それに対応して、級数を無限和と言ったりも。

ちなみに無限級数Σakが与えられたら、Σ[k=1,...,n] akを元の無限級数の第n部分和と言ったりします。



C^∞級ですが、まあ、何回でも微分可能だ、ということ。
f^∞ ← これは何じゃろう。
n階微分はf^(n)と書くよね。
lim f^(n)のことかとも思ったけど、これはfがC^∞級でも存在するとは限らないし。
C^∞級の定義は、何回でも微分可能、ということに尽きるんじゃないでしょうか。



マクローリン展開:
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n
これは=ではなくて、右辺はe^xのn次マクローリン展開(あるいはマクローリン多項式)。

e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
↑これの右辺がマクローリン級数で、その第n部分和が、n次マクローリン展開なんでしょう。

e^xからn次マクローリン展開を引いて出る差が、剰余項。
剰余項がどう表されるかっていうのは、それが面白い所なので、テキストをじっくり読んで下さい。
そこはもうちょいマトを絞ってくれないと、テキストの内容をコピペする以外、答えようがない気がしますが、どう思いますか?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
f^(∞)(x)はf^(n)(x)を真似て無限階微分を表したつもりです。
(カッコ)を付け忘れました。このような表記はまずいのでしょうか?
(d^∞/dx^∞)f(x)と表記しても駄目でしょうか?
微分可能であれば、関数は連続ですね。
忘れてました。ありがとうございます。

余剰項に関してですが、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
でも良いでしょうか?
例えば、余剰項をR(x^n+1)と表記すると教えて頂いたのですが、
n+1乗だけ表記しているのはなんだか気持ち悪いです・・・


e^xのマクローリン展開を求めよと言われたら、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
どちらでもOKでしょうか?

補足日時:2011/04/19 16:24
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>(1)
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>(2)
>『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?
通常はそのように定義されていると思います。

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#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to ∞]a_n
には2つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
部分和の列の極限値sを「和」と呼んで、Σ[n=1 to ∞...続きを読む

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(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

Q無限級数

A_n={1/(2n-1)}(1/2)^n (n=1,2,...) の無限級数
lim[n→∞]S_n
の求め方を教えてください。ヒントでもかまいません。各項についている係数が等差数列ならばいけるのですが、この問題はお手上げです。
それともはさみうちでも使うのでしょうか??使えそうにない気しかしないのですが…。降参です。そして高三です。
どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。
私も#2さん、#3さんのように、
出題者はテーラー展開を念頭において出題したとしか考えられません。
でも、高3なら微分積分は使えるはずなので、
テーラー展開を使わないで回答したいと思います。

f(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}x^(2k-1) とおき、
両辺を x で微分します。すると、

f'(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] x^(2k-2)

となり、右辺は無限等比級数の和ですから、|x|<1 のとき、

f'(x) = 1 / (1 - x^2)

となります。したがって、

f(x) = ∫{ 1 / (1 - x^2) } dx
= (1/2)∫{ 1 / (1 + x) } dx + (1/2)∫{ 1 / (1 - x) } dx
= (1/2)log(1+x) + (1/2)log(1-x) + C (C は積分定数)

となり、f(0) = 0 ですから C = 0 で、

f(x) = (1/2)log(1+x) + (1/2)log(1-x)

です。

すると、求める値は、

lim[n→∞]S_n = lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}(1/2)^k
= lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}(1/√2)^2k
= (1/√2) lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}(1/√2)^(2k-1)
= (1/√2) f(1/√2)
= (1/2√2) { log( 1 + 1/√2 ) - log( 1 - 1/√2) }
= (1/2√2) log { ( 1 + 1/√2 ) / ( 1 - 1/√2) }
= (1/2√2) log { ( √2 + 1 ) / ( √2 - 1) }
= (1/2√2) log { ( √2 + 1 )^2 }
= (1/√2) log ( √2 + 1 )

となります。

#1です。
私も#2さん、#3さんのように、
出題者はテーラー展開を念頭において出題したとしか考えられません。
でも、高3なら微分積分は使えるはずなので、
テーラー展開を使わないで回答したいと思います。

f(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] {1/(2k-1)}x^(2k-1) とおき、
両辺を x で微分します。すると、

f'(x) = lim[n→∞] Σ[k=1~n] x^(2k-2)

となり、右辺は無限等比級数の和ですから、|x|<1 のとき、

f'(x) = 1 / (1 - x^2)

となります。したがって、

f(x) = ∫{ 1 / (1 - x^2) } dx
=...続きを読む

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q無限級数

(n*n-2)/n ! の無限級数の計算の仕方を教えてください。

Aベストアンサー

一応、添付図のとおりです。本当は、収束性が定かでない無限級数の足し算の順序を勝手に変えてはいけないのですが。

ただ、このケースでは、結論が収束級数の和となったので、結果オーライです。論理的にきちんと記述しようとするなら、添付図の式変形をおおむね下から辿っていけばよろしいかと。

Q無限級数 S(n=1,∞)1(n^n)の値について

知人から相談を受けた問題で興味があったのでちょっと考えてみましたが、
値にまでは至りませんでした。

S(n=1,∞)1(n^n)というのはnのn乗の逆数の総和です。

S(n=1,∞)1(n^n)=1+1/(2^2)+1/(3^3)+1/(4^4)・・・=1/2+1/2+1/(2^2)+1/(3^3)+1/(4^4)・・・
<1/2+(1/2+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)・・・)=1/2+π^2/6

なので比較定理により収束することは分かるのですが、その値は出せませんでした。

岩波全書にある数学公式集2のP29からを調べてみましたが、この級数は載っていませ
んでした。値はだせるのでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

或る公式集を見ると・・・、
Σ[n=1~∞]n^(-n) = 1.2912859970627・・・
という値が載っている。
(定積分で表す事は出来るが、積分は初等関数で表す事が出来ない・・・!)


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