無限級数 C^∞級 意味

マクローリン展開を勉強していてちょっと分からない点が
あるので質問させて下さい。

無限級数とは、Σ[k=1~∞]akのような級数の事だと認識しています。
因みに、級数とは数列a1,a2・・・akを加法で結んだものだと認識しています。

C^∞級とは、f(x)無限階微分可能かつf^∞(x)が連続である事だと認識しています。

上記認識で正しいでしょうか?

また、マクローリン展開の余剰項が理解できていないので教えて下さい。
e^xのマクローリン展開すると、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
となります。
n次以上の余剰項をどのように表してよいか分からないので
すが、余剰項について詳しく教えて頂けないでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

A 回答 (7件)

ちょっと機械的だけど、補足質問に一つずつ答えます。




「e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
が同じである事が理解出来ないので、気持ち悪いと書かせて
頂きました。」

それは、e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))が成り立つということが既に分かってるんであれば、簡単ですよ。

剰余項R(n+1)(ここではこの記号で行きます)のそもそもの定義は、
R(n+1)=e^x-(1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n) …(1)
である、と考えればいい。
だから、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1) …(2)
は自明です。
だから、e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))と級数展開できることが分かってれば、全てのnについて、
1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)=Σ[k=0~∞]((x^k)/(k!))
が成り立つのも当たり前のことです。

この話には注意すべき点がもちろんあります。

まず、テイラーの定理は、(2)のような自明な関係を述べてるだけのものじゃありません。
R(n+1)が、(1)とは違う、自明でない、意味のある式表現(というか、R(n+1)がとりうる値の範囲かな)を持ってることを、述べてますよね。
alice_44さんが言ってるように、R(n+1)にはいくつかの式表現があります。
どれも、(1)で定義される、e^xとn次マクローリン多項式との差の、評価の仕方であるということです。

また、級数展開可能性は、(2)において
lim[n→∞] R(n+1)=0 …(3)
であることを確かめないと、分かりません。
だから、上のように級数展開可能性を前提として議論するんじゃなくて、剰余項を定義し、その値を評価し(テイラーの定理)、その極限によって、級数展開可能性の条件を求める、というのが普通の話の順序です。



「e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
なぜ、n+1だけ剰余項として記載されるのでしょうか?」

そもそも、R(n+1)が(1)で定義されてるから、各nについて、(2)のような表現ができる、ということに過ぎない。



「e^xはC^∞級なのに、n+1乗で終わっているのが理解できない
点です。」

これも上と同じ。
全てのnについて(2)のように書けることは、無限級数で表せることを、意味しません。
(3)がないとダメです。
kabaokabaさんの回答を読み直してください。



「また、C^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?」

つまり、y=x^2(xは実数)ですか?
これはC^1級だし、C^∞級でもあります。
1階微分できて1階導関数が連続なだけでなく、何回でも微分できますよね。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

級数展開の可能性は剰余項、lim[n→∞] R(n+1)=0であることを確かめ
なければならないことは理解できました。
※以下で話す関数は、全て級数展開可能とします。

C^n級とは、n階微分可能な関数を意味しますよね。
C^∞級とは、n階以上微分可能な関数のことを指して言うのでしょうか?

剰余項について、
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))・・・A
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)・・・B
AとBが等価なのが理解できません。
AはΣの範囲が∞です。Bは任意の自然数nです。

e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)とすれば、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)は自明ですが、
私が理解出来ない点は、AはΣの範囲を∞ととって表現しているのに、
Bは任意の自然数nまで級数展開して、それ以降を剰余項で表しています。
Bは無限級数展開可能であるのに、n+1で打ち切っているのが理解出来ない点です。



>「また、C^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?」
すいません。質問が悪いでした。
y=|x|はx=0で微分可能でありません。
つまり、y=|x|はC^0級だと認識しています。
そこで、y=|x|^2はx=0で一階微分できるので、C^1級と考えました。
この考えはおかしいでしょうか?


以上、本当に何度も申し訳ないのですがご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/25 11:46
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
新しく質問させて頂きますので、よろしければご回答よろしくお願い致します。

お礼日時:2011/04/26 09:49

気持ち悪いって、どういう意味でしょう。



記号R(x^(n+1))が気持ち悪い→これは確かにちょっと気持ち悪い。
R_(n+1)(x)とかの方がいいんじゃないでしょうか。
剰余項が何に依存してるか考えて、いいのを選んでください。

級数じゃなくてn次多項式と剰余項の和で表すのが気持ち悪い→指数関数のように級数展開可能な関数については、気持ちいい方でどうぞ。
n+1階微分可能な関数はn次テイラー(マクローリン)多項式と剰余項の和で表せる、というのは、単に、1つの定理(テイラーの定理)の内容です。
定理が一般のC^∞級関数について含意するのは、全てのnについて上のことが成り立つ、ということだけ。
級数展開可能性を含意してはいません。
級数展開不可能または級数展開可能か未証明の関数について、級数表現と、n次多項式+剰余項とを、等しいかのように扱うのはまずいでしょう?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
は同じである事は理解できます。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
が同じである事が理解出来ないので、気持ち悪いと書かせて
頂きました。

e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
なぜ、n+1だけ剰余項として記載されるのでしょうか?

e^xはC^∞級なのに、n+1乗で終わっているのが理解できない
点です。

また、C^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?

お手数をお掛けしますが、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2011/04/22 16:22
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端的にいってしまえば



自分勝手に定義をでっち上げるのはやめて
一般的な定義(広く認知されている定義)を
きちんとした書籍で勉強しなさいな

これに尽きます.岩波の解析概論で文句を言う人はいないだろうから
そういう本を読みましょう.

それと無限というものを数と同じように扱ってはいけません.
ですので,

>C^∞級とは、f(x)無限階微分可能かつf^∞(x)が連続である事だと認識しています

こんな認識は論外です.
関数fがC^∞級であるとは,
「任意の自然数nに対して,fのn階導関数f^{(n)}が存在することをいう」
です.任意の自然数でOKなのだから
n+1階のf^{(n+1)}も存在するので必然的にf^{(n)}も連続です.
決して「無限回微分可能」のような「怪しい」無限は定義には含まれません.
記号としてイメージしやすいのでC^∞というような表現をするだけです.

勘違いしてそうなので,ついでにいうと,関数がC^∞級であることと
級数展開可能であることは同義ではありません.
たとえば
f(x) = e^{-1/x} (x>0)
f(x) = 0 (x<=0)
という関数はC^∞ですが,x=0で級数展開できません(背理法で示す).
展開できる関数はC^∞よりももっと小さくてC^ω級と呼ばれます(解析関数という).

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
C^ω級という表現を見かけたことがあります。
級数展開可能であることを示すのですね。
C^∞級は常に級数展開可能だと考えてました・・・
ありがとうございます。

e^xは一般的には、C^∞級と表現されるのでしょうか?
それとも、C^ω級と表現されるのでしょうか?
立場によってそれぞれ使い分けられるのでしょうか?


他の方にも補足質問させて頂いたのですが、
C^n級はn階微分可能という事ですよね。
C^∞級とC^n級の違いってなんなのでしょうか?
任意階微分とn階微分って同じように思うのですが・・・

ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/21 16:59
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第一点:


級数を無限個の加法と解釈できるのは、
級数が絶対収束する場合だけです。
条件収束する場合には、単に
部分和の極限と考えるに留めるべきです。

第二点:
C^∞級は、無限階微分可能ではなく、任意階微分可能です。
何回微分してもよいけれど、微分する回数は有限であり、
f^∞なんてものが定義される訳ではありません。

第三点:
テーラーの定理について調べてみれば、
たいていの文献に、剰余項の表現が2~3種書いてあります。
Wikipedia程度のモノにもちゃんと書いてあるから、
googleなどで探してみるとよいでしょう。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
勉強になります。

C^∞級は任意階微分可能は理解しました。
C^n級はn階微分可能という事ですよね。
C^∞級とC^n級の違いってなんなのでしょうか?
任意階微分とn階微分って同じように思うのですが・・・

また,C^1級関数とは、1階微分可能な関数だと
認識しています。
C^1級関数の例としてu = -x^2 + 3xy^3が挙
げらているのですが、多項式の関数はC^∞級
ではないでしょうか?

例えばC^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?


また、
マクローリン展開 微分
http://okwave.jp/qa/q6660665.html

極限値 問題
http://okwave.jp/qa/q6677152.html

にも、補足質問させて頂きましたのでご回答頂けないでしょうか?

ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/21 16:51
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f^(∞)


これは、Tacosanさんが言ってるように、定義されてないと思います。
無限階微分だと言うけれど、それも同様です。
試しに
f^(∞)=lim[n→∞] f^(n)
みたいに定義してもいいけど。
でもこの右辺は、(たとえfがC^∞級でも)連続うんぬん以前に、収束しないこともある。

剰余項
ここの補足質問の意味が分かりませんでした。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
これ、右辺の最後を・・・としてるのは剰余項を省略してるのか、それともn以降もずっと続く無限級数なのでしょうか。
どっちにせよ、剰余項の式は、e^xの、n次マクローリン多項式では表しきれてない剰余の部分を、評価しやすい形で表現してるからこそ、意味があると思います。
剰余項を見れば、極限を考えずにn次までで切ってもこれくらいe^xの値に近い、というのが分かるじゃないですか。
それに、この剰余項がn→∞の極限で0に行くかどうかが、級数展開可能性で肝心なわけなので。

マクローリン展開
単にマクローリン展開と言われたら、マクローリン級数で表せばいいんでしょう。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
この2つは同じなので、一方が良くて他方がダメってことはない。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
勝手にf^(∞)と書いてしまい、すいません・・・
駄目だという事がわかりました。

剰余項に関しては、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
とn次以上を・・・と表記しました。
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
は、n+1乗だけ記載するのがなんだか気持ち悪いです。
理由を教えて頂けますか?
e^xは、∞級数だと認識しています。

ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足日時:2011/04/21 16:55
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f^∞(x) はダメ. f^(∞)(x) と書こうと (d^∞/dx^∞)f(x) と書こうとだめなものはダメ. いずれにしても定義されていない. もちろん「あなたが定義すればいい」んだけどね.



あとマクローリン展開の剰余項で n+1乗だけを考えるのは, 「x が 0 に近い」ことを念頭に置いているから. 0 に近い x に対して
|x|^(n+1) > |x|^(n+2) > |x|^(n+3) > ...
でしょ?
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正しい認識を持ってるか、自分自身、自信ないです。


自分の認識も正されるのを期待して…。


無限級数とはそういうもの↓

Σ[k=1~∞] ak あるいはa1+a2+a3+...

で、級数という言葉も無限級数を指すことが多い。

有限個の項の和は、個人的には単に「和」って言ってます。
こういうのは、級数とか有限級数とか呼んだりは、個人的にはしてこなかったなあ。
級数は和の極限だから、やっぱり和とは別物って感じがするし。
強調の必要あり、と思ったら、有限和とは言うけど。
それに対応して、級数を無限和と言ったりも。

ちなみに無限級数Σakが与えられたら、Σ[k=1,...,n] akを元の無限級数の第n部分和と言ったりします。



C^∞級ですが、まあ、何回でも微分可能だ、ということ。
f^∞ ← これは何じゃろう。
n階微分はf^(n)と書くよね。
lim f^(n)のことかとも思ったけど、これはfがC^∞級でも存在するとは限らないし。
C^∞級の定義は、何回でも微分可能、ということに尽きるんじゃないでしょうか。



マクローリン展開:
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n
これは=ではなくて、右辺はe^xのn次マクローリン展開(あるいはマクローリン多項式)。

e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
↑これの右辺がマクローリン級数で、その第n部分和が、n次マクローリン展開なんでしょう。

e^xからn次マクローリン展開を引いて出る差が、剰余項。
剰余項がどう表されるかっていうのは、それが面白い所なので、テキストをじっくり読んで下さい。
そこはもうちょいマトを絞ってくれないと、テキストの内容をコピペする以外、答えようがない気がしますが、どう思いますか?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
f^(∞)(x)はf^(n)(x)を真似て無限階微分を表したつもりです。
(カッコ)を付け忘れました。このような表記はまずいのでしょうか?
(d^∞/dx^∞)f(x)と表記しても駄目でしょうか?
微分可能であれば、関数は連続ですね。
忘れてました。ありがとうございます。

余剰項に関してですが、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
でも良いでしょうか?
例えば、余剰項をR(x^n+1)と表記すると教えて頂いたのですが、
n+1乗だけ表記しているのはなんだか気持ち悪いです・・・


e^xのマクローリン展開を求めよと言われたら、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n・・・
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
どちらでもOKでしょうか?

補足日時:2011/04/19 16:24
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