数学II

三角関数で
０≦θ＜2πのとき
2cos2θ＋sinθ－１＝０
を解け.

どのようにしたら
解けますか？

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/20 14:13

#2です。

もし、問題の「cos2θ」が
「cos(2θ)」でなく「(cosθ)^2」であれば

(cosθ)^2=1-(sinθ)^2
を代入して

2-2(sinθ)^2+sinθ-1=0
2(sinθ)^2-sinθ-1=0
X=sinθと考えて因数分解すると
(sinθ-1)(2sinθ+1)=0
∴sinθ=1 or sinθ=-1/2

０≦θ＜2πであるから
sinθ=1から　θ=π/2
sinθ=-1/2から　θ=2π-π/6=11π/6, π+π/6=7π/6

まとめて　θ=π/2, 7π/6, 11π/6

となります。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/20 00:52

2cos(2θ)+sinθ-1=0

2(1-2sin^2θ)+sinθ-1=0
-4sin^2θ+sinθ+1=0
4sin^2θ-sinθ-1=0　…(☆)

X=sinθに関する2次方程式の解の公式から
　X=sinθ=(1±√17)/8
Xは　|X|≦1を満たしている。
したがって(☆)の解θは次の4個になる。

θ=sin^-1((1+√17)/8),π-sin^-1((1+√17)/8),
2π-sin^-1((√17-1)/8),π+sin^-1((√17-1)/8)

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/04/20 00:33

倍角の公式でｃｏｓ２Θを変形したのち因数分解すればいいかな？