数学についてしつもんです

ｆ：R＾n→R^mを線型写像とする。a1・・・・aｒ∈R^nに対し、f(a1),・・・・ｆ（ar）∈R^mが一次独立ならばa1,・・・・ar∈R^nが一次独立であることを示せ
の問題なのですがさっぱりわかりません

助けてください

No.2 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/04/22 03:54

{a_k}_{k=1～r}⊂R^n

{x_k}_{k=1～r}⊂R
Σ_{k=1～r}(x_k)(a_k)=0
とすると
fは線形写像だから
0=f(0)=f(Σ_{k=1～r}(x_k)(a_k))=Σ_{k=1～r}(x_k)f(a_k)
{f(a_k)}_{k=1～r}は一次独立だから
(x_k)_{k=1～r}=0
∴
{a_k}_{k=1～r}は一次独立

一次独立の定義1)
{a_k}_{k=1～r}⊂R^n
が一次独立
←def→
{x_k}_{k=1～r}⊂R
Σ_{k=1～r}(x_k)(a_k)=0→(x_k)_{k=1～r}=0

一次独立の定義2)
{f(a_k)}_{k=1～r}⊂R^m
が一次独立
←def→
{x_k}_{k=1～r}⊂R
Σ_{k=1～r}(x_k)f(a_k)=0→(x_k)_{k=1～r}=0

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/21 00:58

対偶を示すのが簡単かなぁ.