3次式

y=Ax^3+Bx+C


x=
の形に書き換えたいのですが、解法がさっぱりわかりません。
(x^3はxの3乗と思ってください)
類似の質問を検索してみても、回答中の参照先サイトがなくなっていたり、
難解すぎて理解できなかったりで解決しませんでした。

解法のわかる方、改めて教えていただけないでしょうか。


いまはエクセルのゴールシーク機能を使って、yの値からxの値を求めているのですが、
数が多いのでとても手間がかかります。
複数のyの値を、1操作でゴールシークできれば、あえて逆関数をもとめる必要もないんですが。
そういう手段もあれば教えてください。

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A 回答 (2件)

三次関数のx^2の係数が0であることに着目すれば、”カルダノの公式”そのものです。



”カルダノの公式”で検索してください。内容は理解できなくても、手順どおりにやればエクセルに実装できます。

反復法だと、”ニュートン法”もヒントになるでしょう。
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この回答へのお礼

とりあえずエクセルで回答させることができました。ありがとうございました。

ただ虚数が発生するとエクセルではエラーになってしまうので、100%完成まではこぎつけてません。
そこらへんをもうちょっとつめてみます。

お礼日時:2011/04/25 10:21

マクロを作る手ですかね。


function gyakukansu(a,b,c,y)
を自分で作れば、excelのセルの中から(組み込みの関数と同じように)利用できます。複数の解を出力するためには、
DIM solution(0 to 2)
solution(0) = ...
solution(1) = ....
solution(2) = ....
gyakukansu = solution
のようにして配列を返すようにすればOKです。スプレッドシート上では、複数の数値を返す組み込み関数(minverseとかlinestとか)を使うのと同じ要領で利用します。

じゃ、マクロの中身です。
y = A x^3 + Bx + C
の逆関数ってのは、
x^3 + (B/A)x + (C-y)/A = 0
という方程式の実数解を求めていることに他なりません。
p = B/A
q = (C-y)/A
f(x) = x^3 + px + q
(ちなみに、y = a x^3 + b x^2 + cx + d の場合も、x=X-b/(3a)と変数変換すればこの形に帰着します。(チルンハウス変換))
とおくと、方程式は
f(x) = 0
これを、解がどこにあるかによって分類します。そのために、fをxで微分したもの
f'(x) = 3(x^2)+p
を考えておきます。f'(x)=0となるxでf(x)は極大か極小になるわけですね。

(1) p>0 → f(x)には極大・極小がない。なので、f(x)=0には1つの実数解と2つの虚数解がある。
 (1-1) q>0 → x<0の範囲に唯一の実数解がある。
 (1-2) q=0 → x=0が唯一の実数解。
 (1-3) q<0 → x>0の範囲に唯一の実数解がある。
(2) p=0 → x=(qの符号)×(|q|^(1/3))が唯一の実数解。
(3) p<0 → f(x)には極大・極小がひとつずつある。f'(x)=0を解いて
極大fmax = f(-√(-p/3))
極小fmin = f(√(-p/3))
であると分かります。そして、
 (3-1) fmin >0 → x<-√(-p/3)の範囲に唯一の実数解がある。
 (3-2) fmin = 0 → 二重解 x=√(-p/3)のほかにもうひとつ、x<-√(-p/3)の範囲に実数解がある。
 (3-3) fmax > 0 > fmin → x<-√(-p/3)の範囲、-√(-p/3)<x<√(-p/3)の範囲、および、
                x>√(-p/3)の範囲にそれぞれひとつずつ実数解がある。
 (3-4) fmax = 0 → 二重解 x=-√(-p/3)のほかにもうひとつ、x>√(-p/3)の範囲に実数解がある。
 (3-5) 0 > fmax → x>√(-p/3)の範囲に唯一の実数解がある。


 「ある範囲に唯一の実数解がある」というその解の数値計算は簡単で、ニュートン法が使えます。すなわち:
適切な出発値x[0]を与えて、
x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])
を繰り返せば、x[n]が解に収束する。最初もたついても、収束しはじめるととても速くて、繰り返す度に有効数字の桁数がおおむね倍になって行きます。なので|f(x[n])/f'(x[n])|がうんと小さくなったら打ち切れば良いわけです。

 出発値は「範囲内であって範囲の境界から適当に離れたところ」をx[0]にすれば良い。適当って、(だいたい何でもいいんですけど、小さい定数だと|p|が0に近い場合にx[1]が大はずれの値になってなかなか収束が始まらないんで)たとえば(|q|^(1/3))+1ぐらい離れたところとか。
 ただし、(3-3)における「-√(-p/3)<x<√(-p/3)の範囲にある解」を探す場合だけは、「適当に」じゃカオスに陥ることがありますんで、この場合は変曲点(f''(x)=0となるx)であるx=0を出発値にします。
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この回答へのお礼

マクロは触れたことが無いのでちょっと勉強してみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/25 10:18

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━



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Aベストアンサー

双曲線関数を使ったアルゴリズム:
a X^3 + b X^2 + c X + d = 0 を Y = X + b/(3a) で置換すると、
4 Y^3 + p Y + q = 0 (p,q は定数) という形に変形できる。
更に Y = R sinh Z で置換すると、三倍角公式を使って
sinh(3Z) + q/R^3 = { 3 - p/R^2 }(sinh Z) と変形される。
3 - p/R^2 = 0 となるように R を定めれば、
sinh(3Z) = -q/R^3 となる。
ここで、sinh の逆関数を使って 3Z を求め、
sinh Z から X へとたどるのでは、超越的な計算になってしまう。
sinh z = (e^z - e^-z)/2 により、sinh(3Z) = -q/R^3 を
e^(3Z) に関する二次方程式と考えると、代数的計算だけで
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友人の結婚式の招待状の返事に1行「おめでとう」など書く欄があるのですがちょっとおしゃれな笑いとか喜んでいただけるメッセージを書きたいのですが参考になりますようなサイトがあれば教えていただけないでしょう

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ちなみに彼は、付き合っていた彼女と泣く泣く別れて2か月後でした。

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思いっきり吹き出して笑ってしまったのですが、思い直して嫁さんと相談して、結婚式の当日に、嫁さんの友人を彼に紹介してあげました。

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Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

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