断面相乗モーメントについて教えてください。

断面相乗モーメントの工学的意味を教えていただけませんでしょうか。何を出すために必要なのか分かりません。
数十年前柱の破損は斜め45度で破壊すると教えてもらった記憶があるのですが、その時に相乗モーメントを使ったような気がいたします。コンクリート柱に圧縮荷重をかけると斜め45度で破壊する理由も教えていただけないでしょうか

A 回答 (1件)

以下参考になると思います。


http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1343731.html

柱が圧縮で45度で破壊されるのは、せん断力による破壊だからです。
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Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Q矩形断面の断面2次モーメントを積分で求める場合

bh^3/12となる矩形断面の断面2二次モーメントの積分式ですが
テキストには大抵
∫A b・y^2・dxとなっています。
このときの書き順ですが
理屈で考えると微小断面b×dxを軸からの距離
yの2乗で-h/2から+h/2まで積分するという意味ですから
∫A b・dx・y^2の方が自然だと思うのですが
なぜy^2がdxよりも前にくるのですか?

Aベストアンサー

断面二次モーメントの定義は、I=∫y^2dAで、断面全体にわたって積分します。長方形の場合はdA=bdyですから、I=∫y^2・bdy,積分区間は-h/2<y<h/2となります。積分記号内では、微小幅dyは、積分を実行するときは最後に書くと思いますが。

Q力のモーメントについて質問です。 やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

力のモーメントについて質問です。

やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

問題.
図1.49のように、棒の点A,BにモーメントMA,MBを加えたい。この棒が回転せずに静止するとき、C点に加えることが必要な反力RCとモーメントMCを求めよ

解答.
RC=0, MC=MA+MB

力のつりあいからRC=0
モーメントのつりあいから、MC=MA+MB

は何となく理解できるのですが、そもそもモーメントを加えるというのがよくわかりません。高校の時のモーメントは[力×距離]だったので、距離によって〜点周りのモーメントは違いましたが、MAやMBはどの点周りのモーメントでも変わらないのですか?

Aベストアンサー

>はどの点周りのモーメントでも変わらないのですか?
そのように考えてよいと思います。
「力のモーメント」は,距離×力 でしたが,モーメントそのものは物体(剛体)のどの点に作用していても,同じ効果(同じモーメント (笑))と考えましょう。
 
>そもそもモーメントを加えるというのがよくわかりません。
ドライバー(ねじ回し)で,物体のある点にモーメント(回転力?)を加えるイメージが,近いのではないかと思います。
 
それでも,イメージし難ければ,
棒は水にでも浮いているものと考え,図はそれを上から見下ろしているものと考えましょう。
A,B,C点には(ヘリコプターのような)小型プロペラが取り付けてあり,回転することにより(棒に)(反力?としての)モーメントが掛かると考えましょう。
反力 Rc は外から棒に水平に加える「力」です。(これが加わると,水の上を水平に(図では上方に)棒が移動します。)

Q断面二次モーメント慣性モーメントの実用性

 断面二次モーメントと慣性モーメントの公式や導出は分かるのですが、存在概念がよく分かりません。
 それらを定義することにより、工業的にどのような意味というか、役割があるのでしょうか?
 具体的にそれらを使って、どのようなものを設計するかも例えていただけると助かります。

 あと断面二次モーメントと慣性モーメントの使い分けもいまいち分からないので、簡単に教えていただけるとうれしいです。素人質問で申し訳ありませんが教えてください。

Aベストアンサー

建築や機械の構造材、軸などの強度設計になくてはならない概念です。具体的な意味や使い方は、質問題名をキーワードにして検索すれば、詳しい説明をするサイトが、たくさん見つかります。

Q反力の分布、モーメントのつり合い

こんにちは、力学についてに質問です。材料力学を勉強し始めたもので、ぜひ勉強させて頂きたく、以下のわたくしの疑問や説明について間違っている点やコメントなど頂けますととてもありがたいです。

添付の図のように黄色の物体が壁に張り付いており、外力F(直線の赤矢印)が働いています。これに対して、壁は反力として同じ大きさのFで反対方向の力を物体に与えます。また、物体が回転しないようにモーメントのつり合いを考えなければなりません。この反力の分布と、モーメントのつり合い、さらには壁がもたらすモーメントとの正体についてご教示頂ければと思い投稿させて頂きました。どうぞよろしくお願いします。

(1) 点A周りのモーメントのつり合いを考えます。外力Fは点A周りにモーメントを起こし、それはFRの大きさで、反時計回りです。このモーメントを打ち消すために、壁も点A周りにモーメントを起こしているはずです。なので壁からのモーメントは大きさFRで時計回りのはずです。ここまではOKなのですが、次がわからない点でして、どうかよろしくお願いします。

(2)点B周りのモーメントですが、やはり外力FがFRで反時計回りのモーメントを起こしています。しかし、壁からの反力が均一である場合、緑のラインに関する対称性から反力はB周りにトルクを生じません。ですので、外力Fによるモーメントを打ち消すモーメントが存在しません。

すると、反力は図面のように均一ではなく、不均一なのでしょうか。つまり、B周りに時計回りのモーメントを起こすように分布(上部が大きく、下部が小さい)しているのでしょうか。

であるならば、この不均一な反力は点Aにも時計回りのモーメントを起こし、それは点Bのものとまったく同じ大きさとなり、FRです。すると、不均一反力によるモーメントと外力によるモーメントの合計がゼロとなり、(1)での議論、点Aでのモーメントのつり合いは、完結してしまい、(1)で挙がった「壁が起こすモーメント」が不要となります。どういうことでしょうか。

「壁が起こすモーメント」の正体は結局のところ「不均一な反力により生じるモーメント」ということでしょうか。

ぜひ、ご教示頂ければと思います。
宜しくお願い致します。

こんにちは、力学についてに質問です。材料力学を勉強し始めたもので、ぜひ勉強させて頂きたく、以下のわたくしの疑問や説明について間違っている点やコメントなど頂けますととてもありがたいです。

添付の図のように黄色の物体が壁に張り付いており、外力F(直線の赤矢印)が働いています。これに対して、壁は反力として同じ大きさのFで反対方向の力を物体に与えます。また、物体が回転しないようにモーメントのつり合いを考えなければなりません。この反力の分布と、モーメントのつり合い、さらには壁がもたら...続きを読む

Aベストアンサー

まず,前提条件を明確にしておきましょう。

この構造をAB方向に長い梁と考え,高さをh,画面奥行き方向は一定寸法tとします。
すなわちこの梁の断面は,h×tの長方形とします。
(断面積S=ht,画面内曲げに関する断面二次モーメントI=h^3t/12)

するとこの梁は断面が上下対称のため,中立軸はABを結ぶラインとなります。
モーメントもこのラインに関して計算することになります。

ここまでは,あなたの認識との違いはないと思います。

さてあなたの問題提起について考えましょう。

まず(1)については,あなたの認識どおりです。

では(2)は?
あなたが間違っているのは
「壁からの反力が均一である場合」
というところです。
Fが中立軸上に及ぼすモーメントMは,どこでも等しく,その値はM=FRとなります。
このモーメントはA点を通じて壁にも作用し,反力分布を発生させます。

モーメントMによって発生する反力分布(言い替えれば応力分布)σMは一様分布にはならず,h方向に線形分布します。
上端におけるその値はσM=-Mh/(2I),下端においてはσM=Mh/(2I),中立軸上で0です。
壁にはモーメントのほか,Fによる圧縮力が直接作用するので,この圧縮応力σCも考えなければなりません。
その値はσC=-F/Sです。

要は,Fが圧縮荷重で,作用する位置が図の通り中立軸よりも上側だとすると,この梁の左端には,
上側で
-Mh/(2I)-F/Sの圧縮応力
下側で
Mh/(2I)-F/Sの応力
が発生します。(下側が引張と圧縮のどちらになるかは,Rの大きさ次第です。)

結論として,F×Rで発生したモーメントは,梁のどこにおいても消失することはありません。
壁からの反力は,決して均一ではないのです。

なお,「中立面より上に圧縮応力、下は引張応力が生じ、面積を掛ければ力になる」という考え方は,一般論としては間違いではないのですが,この場合には結論を導くための有用な情報にはなりません。

まず,前提条件を明確にしておきましょう。

この構造をAB方向に長い梁と考え,高さをh,画面奥行き方向は一定寸法tとします。
すなわちこの梁の断面は,h×tの長方形とします。
(断面積S=ht,画面内曲げに関する断面二次モーメントI=h^3t/12)

するとこの梁は断面が上下対称のため,中立軸はABを結ぶラインとなります。
モーメントもこのラインに関して計算することになります。

ここまでは,あなたの認識との違いはないと思います。

さてあなたの問題提起について考えましょう。

まず(1)につい...続きを読む

Q鋼材の断面2次モーメントの単位

鋼材の断面2次モーメントの単位 cm4 を m4 に換算したいのですが、、、恥ずかしながら分かりません。
よろしくご教授ください。

Aベストアンサー

1cm=1m/100、そのまま単位に代入して、
cm4=(1m/100)4=1/100,000,000 m4となります。

Q標準正規分布のモーメント母関数

標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

モーメント母関数をM(t)とすると、モーメント母関数の定義により、M(t)=E(exp(tX))です。ただし、Xは、標準正規分布に従う確率変数で、E( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、

M(t) = exp(t^2/2)

となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの3次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの4次モーメント = M''''(0) = 3

となります。

Q断面2次モーメント

長方形の断面2次モーメントの公式  1/12bh3
はどの様に導出されたか教えてください。
公式に3は三乗の3です。

Aベストアンサー

 外荷重が作用する結果、材料の抵抗力として応力が生ずるが、外荷重によるモーメントとその結果、生じた応力によるモーメントは等しいとおいて、応力が求められます。その途中で出てくる図の(1)式で示される断面形状・寸法に関する値が断面二次モーメントです。微小面積dAにy^2を掛けた値を断面積A全体に渡って計算し、和を求めると言う意味です。一般の断面形状の場合は二重積分になりますが、長方形などは、幅が一定ですので簡単な積分で求められます。x軸は断面の図心を通る中立軸になります。

 長方形の場合、図2の斜線の微小部分の面積は,dA =bdy となり、一方,yは -h/2≦y≦h/2 で変化するから,図の(2)式の積分を行うと断面積全体にわたって計算したことになり、断面二次モーメントが得られます。

Q力のモーメントについて質問です。 やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

力のモーメントについて質問です。

やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

問題.
図1.49のように、棒の点A,BにモーメントMA,MBを加えたい。この棒が回転せずに静止するとき、C点に加えることが必要な反力RCとモーメントMCを求めよ

解答.
RC=0, MC=MA+MB

力のつりあいからRC=0
モーメントのつりあいから、MC=MA+MB

は何となく理解できるのですが、そもそもモーメントを加えるというのがよくわかりません。高校の時のモーメントは[力×距離]だったので、距離によって〜点周りのモーメントは違いましたが、MAやMBはどの点周りのモーメントでも変わらないのですか?

Aベストアンサー

この図だけではなんだかわかりませんね。

Ma, Mb, Mc は棒の「中心軸」に対するモーメントなんでしょうか?

Rcは反力となってますが、なにに対する反力?

Q断面2次モーメントの計算

任意多角形の断面2次モーメントはどうやったら求められるでしょうか?
Ix=∫[A]y^2dA、Iy=∫[A]x^2dA

面積は分かったのですが、
A=∫[A]dA
=1/2Σ[i=1,n](x[i]y[i+1]-x[i+1]y[i])

断面2次モーメントは略算的な式しか載っていないし、線積分をどうやって実行したらいいのか全然分からないので困っています。
何かヒントになることだけでもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

考えるためのヒントを・・・

1.任意の多角形,例えば,任意のn角形は,n個の頂点と辺を持ちます。断面2次モーメントは,微小面積に対する図心からの距離の二乗を全面積について積分したものですので,全ての頂点間の辺=n個分の線分の方程式と多角形の図心を通る軸で形成されるn個の図形について断面2次モーメントを求め,合計する。・・・という方法があると思います。

2.また,構造力学や材料力学的な考え方を用いる方法があります。
任意の多角形を,算定軸に平行な辺を持つ複数の三角形要素と四角形要素に分割し,三角形または四角形の断面2次モーメントを求める公式を使って,それぞれの要素の図心を通る軸に関する断面2次モーメントを求め,

Io=∫yo^2・dA ・・・三角形または四角形要素の断面2次モーメント

要素の図心が多角形全体の図心を通る軸までの距離だけ離れている場合の断面2次モーメントを求める公式

Ii=Io+y^2Ai ・・・要素の多角形の図心に関する断面2次モーメント
   ただし,y:要素の図心軸と多角形の図心軸との距離
       Ai:要素の面積

を計算して,全要素について合計すれば,

In=Σ(i=1,n)Ii ・・・多角形の断面2次モーメント

求められると思います。

考えるためのヒントを・・・

1.任意の多角形,例えば,任意のn角形は,n個の頂点と辺を持ちます。断面2次モーメントは,微小面積に対する図心からの距離の二乗を全面積について積分したものですので,全ての頂点間の辺=n個分の線分の方程式と多角形の図心を通る軸で形成されるn個の図形について断面2次モーメントを求め,合計する。・・・という方法があると思います。

2.また,構造力学や材料力学的な考え方を用いる方法があります。
任意の多角形を,算定軸に平行な辺を持つ複数の三角形要素と四角形要...続きを読む


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