座標変換による回転角の求め方

直交座標系で定義されている任意のベクトル（ｘ１、ｙ１、ｚ１）に対し、そのベクトル方向に直交座標系のｚ軸が向くようにするための各軸回りの回転角（θx、θy、θz）の求め方（式）を教えてください。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/04/29 01:39

「そのベクトル方向に直交座標系のｚ軸が向く」とすると、問題がおかしくなる（軸が動く？）ので、

点（０、０、１）が任意の点（ｘ１、ｙ１、ｚ１）と同じ向きになるようにするための各軸回りの回転角（θx、θy、θz）の求め方

とういう質問と解釈して回答します。


向きを同じにするだけなら、回転は２軸だけで十分です。

ベクトル（ｘ１、ｙ１、ｚ１）の単位ベクトルを（ｕ、ｖ、ｗ）とします。
点（０、０、１）をｙ軸回りに回転させて、ｚ座標がｗになるようにします。
回転角θyは、θy＝arccos(ｗ)であり、回転後の位置は、
（sin(θy)、０、cos(θy)）

次に、ｚ軸回りに回転させて、ｘ座標がｕになるようにします。
回転角θzは、θz＝arccos(ｕ/sin(θy))であり、回転後の位置は、
（sin(θy)cos(θz)、sin(θy)sin(θz)、cos(θy)）
（ただし、sin(θy)=0のときは、回転角θzは０とします）


上記では回転軸をy-zとしましたが、x-z、x-y、y-xでも可能です。