高1の問題です!!

2つの2次方程式 ｘ^2－3ｘ＋ｍ－1＝0,ｘ^2＋(ｍ－2)ｘ－2＝0
が共通な実数解をただ1つもつとき、ｍの値とその共通解を求めよ。

できれば途中式もお願いしますm(__)m

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/05/30 11:01

ｘ^2－3ｘ＋ｍ－1＝0　…(1)

ｘ^2＋(ｍ－2)ｘ－2＝0…(2)

(1)と(2)が共通解xをもつとすれば
その共通解は(2)-(1)から導かれる次の方程式に全て含まれる。
（ｍ＋１)(ｘ-1)＝0
ｍ＝-1のとき
　このとき(1),(2)は
　　ｘ＾2－3ｘ－２＝０…(1)'
　　ｘ＾2－3ｘ－２＝０…(2)'
　と一致してしまって　２実数解ｘ＝(3±√17)/2を持つから
　ただ１つの共通解を持たないので条件を満たさない。
ｍ≠-1のとき
　共通のただ１つの実数解が存在するならｘ＝1…(3)となる（これは必要条件）。
　このときｘ=1を(1),(2)に代入すると両式とも
　　ｍ－３＝０　（(3)とあわせて必要十分条件）
　となるので ｍ＝３…(4)　(←答え)

【確認】ｍ＝3を(1)に代入すると
　ｘ^2－3ｘ＋２＝(x-1)(x-2)＝0　…(1)
　ｘ^2＋ｘ－2＝(x-1)(x+2)＝0　　…(2)
　なのでx＝1がただ１つの共通実数解となることが確認できる。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/05/30 11:34

＃3　の　“信じられない”致命的ミスを指摘しておく。

＞(1＋ｍ)ｘ＝ｍ＋1　故に　ｘ＝1

(1＋ｍ)ｘ＝ｍ＋1　→　(x-1)*(m+1)＝0　→　x-1＝0、or、m+1＝0。
従って、m+1＝0　の場合も考えなければならない。

No.3 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/05/30 10:54

共通解ということなので，ｘ^2　を消去すると，

ｘ^2－3ｘ＋ｍ－1＝0,
から，
ｘ^2＝3ｘ－ｍ＋1
となります．
ｘ^2＋(ｍ－2)ｘ－2＝0
に代入すると，
3ｘ－ｍ＋1＋(ｍ－2)ｘ－2＝0
3ｘ－ｍ＋1＋ｍｘ－2ｘ－2＝0
ｘ－ｍ＋1＋ｍｘ－2＝0
(1＋ｍ)ｘ－ｍ＋1－2＝0
(1＋ｍ)ｘ－ｍ－1＝0
(1＋ｍ)ｘ＝ｍ＋1

故に

ｘ＝1

この ｘ＝1 を　ｘ^2－3ｘ＋ｍ－1＝0　に代入すると，
1－3＋ｍ－1＝0
－3＋ｍ＝0

ｍ＝3

となります．

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/05/30 10:44

共通解となると、2つの方程式を足したり、引いたりする場合が多いが　これはその方法でないほうがいいだろう。

それでもできるが。。。。。ｗ

ｘ^2－3ｘ＋ｍ－1＝0　‥‥(1)、ｘ^2＋(ｍ－2)ｘ－2＝0　‥‥(2)
(1)より、ｍ＝1-ｘ^2＋3ｘ、(2)より　ｍx＝2-ｘ^2＋2ｘだから、ｍx＝x(1-ｘ^2＋3ｘ)＝2-ｘ^2＋2ｘ。
これを整理すると、x＾3-4x＾2＋x＋2＝(x-1)*(x＾2-3x-2)＝0

・x-1＝0のとき、ｍ＝3だから、(1)の解は　1と2.(2)の解は、1と　-2　だから条件を満たす。
・x＾2-3x-2＝0の時、ｍ＝-1　となり　(1)と(2)の方程式は一致するから、“共通な実数解をただ1つもつ”という条件に反するから不適。

以上から、ｍ＝3で共通解は1.

No.1 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/05/30 10:29

x^2-3x+m-1=0

x^2-3x+9/4=-m+1+9/4
(x-3/2)^2=(-4m+13)/4
x-3/2=±√(-4m+13)/2
x={3±√(-4m+13)}/2


x^2+(m-2)x-2=0
x^2+(m-2)x+(m-2)^2/4=2+(m-2)^2/4
{x+(m-2)/2)^2=(m^2-4m+12)/4
x+(m-2)/2=±√(m^2-4m+12)/2
x={-m+2±√(m^2-4m+12)}/2

----

{3±√(-4m+13)}/2={-m+2±√(m^2-4m+12)}/2
3±√(-4m+13)=-m+2±√(m^2-4m+12)
m-1±√(-4m+13)=±√(m^2-4m+12)
m^2-2m+1-4m+13±2(m-1)√(-4m+13)=m^2-4m+12
±2(m-1)√(-4m+13)=2m-2
±√(-4m+13)=1
-4m+13=1
-4m=-12
m=3

x^2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0
x=1,2

x^2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2,1

m=3
共通解　x=1