No.3ベストアンサー
- 回答日時:
m,nは整数と書いてないですが、違いますか?
そうだと考えて話を進めます。
#1さんの方法だと説明だけで完了ですね。
つまり、cos(nx)が偶関数、sin(mx)が奇関数なので、積をとった
被積分関数 sin(mx)cos(nx)は奇関数となります。奇関数を±対称区間(-π~π)で
積分すれば、質問の定積分は=0となります。
もう少し、計算を含む別解を書いておきましょう。
三角関数の積和公式を利用して
I=∫(-π~π)sin(mx)cos(nx)dx
=(1/2)∫(-π~π){sin(m+n)x+sin(m-n)x}dx …(A)
m+n=0のとき ∫(-π~π)sin(m+n)x dx=∫(-π~π)0 dx = 0
m+n≠0のとき ∫(-π~π)sin(m+n)x dx = 0(∵奇関数の対称区間での積分)
m-n=0のとき ∫(-π~π)sin(m-n)x dx=∫(-π~π)0 dx = 0
m-n≠0のとき ∫(-π~π)sin(m-n)x dx = 0(∵奇関数の対称区間での積分)
なので
全ての整数m,nについて(A)の積分は
I=0
となります。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
うまいやり方がよくわからないんで、オイラーの公式を使っちゃいます。
e^(iθ) = cosθ + isinθ
より
e^(-iθ) = cosθ - isinθ
e^(iθ) + e^(-iθ) = 2cosθ
e^(iθ) - e^(-iθ) = 2isinθ
sinmx = (e^(imx) - e^(-imx))/2i
cosmx = (e^(inx) + e^(-inx))/2
sinmxcosmx = {(e^(imx) - e^(-imx))/2i}{(e^(inx) + e^(-inx))/2}
= -i/4(e^(imx+inx) + e^(imx-inx) - e^(-imx+inx) - e^(-imx-inx))
= -i/4(e^(i(m+n)x) + e^(i(m-n)x) - e^(i(-m+n)x) - e^(i(-m-n)x))
= -i/4{(e^(i(m+n)x) - e^(-i(m+n)x)) + (e^(i(m-n)x) - e^(-i(m-n)x))}
= -i/4{2isin((m+n)x) + 2isin((m-n)x)}
= 1/2{sin((m+n)x) + sin((m-n)x)}
以上の式変形は、頭が良い人だとオイラーの公式ではなく、最初からすんなりとアイデアが浮かんで、加法定理だけでできるのかもしれません。
実際、逆をやってみると、
1/2{sin((m+n)x) + sin((m-n)x)}
= 1/2{sinmxcosnx + sinnxcosmx + sinmxcos(-nx) + sin(-nx)cosmx}
= 1/2{sinmxcosnx + sinnxcosmx + sinmxcosnx - sinnxcosmx}
= 1/2{2sinmxcosnx}
= sinmxcosnx
なのですからね。
不定積分は
∫sinmxcosmxdx = 1/2∫{sin((m+n)x) + sin((m-n)x)}dx
= 1/2{-1/(m+n)・cos((m+n)x) - 1/(m-n)・cos((m-n)x)} + C
= -cos((m+n)x)/(2(m+n)) - cos((m-n)x)/(2(m-n)) + C
定積分は、
-cos((m+n)π)/(2(m+n)) - cos((m-n)π)/(2(m-n))
+ cos((m+n)(-π))/(2(m+n)) + cos((m-n)(-π))/(2(m-n))
= -cos((m+n)π)/(2(m+n)) - cos((m-n)π)/(2(m-n))
+ cos((m+n)π)/(2(m+n)) + cos((m-n)π)/(2(m-n))
= 0
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