三角関数の質問です

質問させていただきます

０°＜Θ＜９０°、ｓｉｎ２Θ＝ｃｏｓ３Θのとき、ΘとｓｉｎΘの値を求めよ

お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： yoshi20a 回答日時： 2011/08/28 18:29

直角三角形(0,0),(cos2θ,0),(cos2θ,sin2θ)と(0,0),(cos3θ,0),(cos3θ,sin3θ)が合同です。

したがって、90°=5θが成り立ちます。従って、θ=18°

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます

お礼日時：2011/08/29 07:28

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/28 18:42

sin(2θ)=cos(90°-2θ)=cos(3θ)

2sinθcosθ=4(cosθ)^3-3cosθ
cosθ{2sinθ-4(cosθ)^2+3}=0
0°＜θ＜90°なのでcosθ≠0
2sinθ-4(cosθ)^2+3=0
4(sinθ)^2+2sinθ-1=0
0°＜θ＜90°なので0<sinθ<1
sinθ=(√5-1)/2

また
0°＜θ＜90°なので sin2θ＞0
sin2θ=cos3θより
　cos3θ＞0
0°＜θ＜90°なのでcos3θ＞0を満たすθは　0°＜3θ＜90°
　∴0°＜θ＜30°
このとき　0°＜2θ＜60°,0°＜3θ＜90°
したがってsin（2θ)=cos(3θ)を満たす条件は
　2θ+3θ=90°
　5θ=90°
　∴θ=18°

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます

お礼日時：2011/08/29 07:28

No.1 回答者： eco1900 回答日時： 2011/08/28 18:14

sinθの値を求められないと・・・θは完全に降伏となりますので、ここではsinθの求め方をお話ししておきますね。

それからθの値は自力でも出せるかも知れませんから^^。


sinは２倍角、cosは３倍角なので、とりあえずこれらを置換しておきましょう。
（これは、公式ですから覚える必要があります＾＾）

sin２θ＝２sinθcosθ
cos３θ＝４cos^3θ－３cosθ

つまり、与えられた等式は、次のように書き換えることができますね。
２sinθcosθ＝４cos^3θ－３cosθ

θの制限範囲から考えて・・・どう見てもcosθ≠0ですよね^^A。

だから、両辺をcosθで割ってしまいましょう。

すると・・・２sinθ＝４cos^2θ－３

でも、まだ二種類の三角関数が含まれていて嫌ですね・・・・
今度は「sin^2θ＋cos^2θ＝１」という有名な公式を使って、cos^2θを置換しましょう。

すると・・・２sinθ＝４（１－sin^2θ）－３

あとは・・見やすくするために「sinθ＝ｘ」とでも書き換えてみますよ。

結局、「2ｘ＝４(１－x^2)－３」となって、xの二次方程式になってしまいました。

ここからは、この方程式を解いて解を求めることになりますが・・・最後に気を付けなければならないことがあります。

それは・・・「sinθ＝ｘ」と気楽に書き換えたけれど・・
θの範囲から「０°＜θ＜９０°なので、０＜x＜１」という制限範囲が付きますよ。

ということで、先程の二次方程式を解いて出たｘ値について、上の制限範囲に適する方がsinθの答えとなります。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます

お礼日時：2011/08/29 07:28