数学 平方完成 問題

次の２次関数をｙ＝ａ（ｘーｐ）＾２＋ｑの形に変換せよ。
（３）ｙ＝２ｘ＾２－４ｘ＋１
（４）ｙ＝ーｘ＾２＋４ｘ－３
なんですが、平方完成のやり方がよく分からないので教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： eco1900 回答日時： 2011/08/29 14:55

次の２次関数をｙ＝ａ（ｘーｐ）＾２＋ｑの形に変換せよ。

（３）ｙ＝２ｘ＾２－４ｘ＋１
（４）ｙ＝ーｘ＾２＋４ｘ－３
なんですが、平方完成のやり方がよく分からないので教えてく

平方完成は、なかなかとりつきにくいですよね。

そのやり方は・・・

（３）のように、二乗の係数（ここでは２）が１以外の場合、まずこの数「～x^2」と「～x」の部分だけをくくります。
　・y＝２（x^2－２ｘ）＋１

次に、括弧の中について・・・「x^2」の部分は（次数を一つ下げて＝減らして）「x」とし、「～x」の部分の係数を２で割った数とを組み合わせて（　）^2形を作り、（　）^2のすぐ後ろで、括弧内の後ろの二乗を引いておきます。
（活字にすると・・すごく複雑に見えますが実際には手を動かし、紙に書きだしてみると案外簡単ですよ＾＾）
　・y＝２｛（x－１）^2－1＾2｝＋１

あとは、この式をさらにまとめるだけです。
　・y＝２(ｘ－１)＾2－２＋１
　　＝２(ｘ－１)^2－１　【完成】

（４）も上と全く同じような操作なので、もう一度挑戦してみてくださいね^^。
二次式の部分が、１ではないので「－１」でくくる。
　・y＝－（x^2－４x）－３

括弧内の情報から、強制的に（　）^2形とし、さらに（　）^2のすぐ後ろで、括弧内の後ろの二乗を引いておきます。
　・y＝－｛（x－２)^2－２^2｝－３

あとは、この式をさらにまとめるだけです。
　・ｙ＝－（x－２)^2＋４－３
　　＝－（x－２)^2＋１　【完成】

No.2 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/08/29 15:06

普通は#1さんのやり方でやりますが、それが解りにくいという人は、別の方法を。

a(x-p)^2+q
=a(x^2-2px+p^2)+q
=ax^2-2apx+ap^2+q

と展開できるので、平方完成したい式と係数を比較する。

(3)
2x^2-4x+1

まずは、x^2の係数を比較

a=2

次に、xの係数を比較

-2ap=-4
a=2なので
-4p=-4
p=1

最後に、定数項を比較

ap^2+q=1
a=2,p=1なので
2+q=1
q=-1

これを最初の式に代入

a(x-p)^2+q
=2(x-1)^2-1

(4)
y=-x^2+4x-3

最初に、x^2の係数を比較

a=-1

次に、xの係数を比較

-2ap=4
a=-1なので
2p=4
p=2

最後に、定数項を比較

ap^2+q=-3
a=-1,p=2なので
-4+q=-3
q=1

これを最初の式に代入

a(x-p)^2+q
=-(x-2)^2+1