数学Iについて

《１》限られた範囲での最大値と最小値


【１】xのとる値が-１≦x≦４の範囲にあるとき、2次関数y=(x-2)2乗-３の最大値と最小値を求めよ。

頂点の座標は(2,-3)

区間の両端のy座標を求めると
x=-１のときy=2

x=4のときy=-１であるから
x=-１のとき最大値2、

x=2のとき最小値-3




【2】次の2次関数のグラフとx軸との共有点の座標を求めよ。なお、共有点のx座標は2次方程式x2乗+3x-2=0の解より左辺を解の公式を使い解く


これでいいのか解答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sasurai_trumpet 回答日時： 2011/10/13 00:02

はじめまして、こんばんは。

考え方は合っているのですが、あちらこちらに簡単なミスが目立ちますね。
大変惜しいと言うか、残念というか・・・・

途中計算が省略されているので具体的には分からないのですが、
計算ミスを減らすためのチェックをした方が良いのかな？と思います

【１】
まず、y=(x-2)2乗-3のグラフが下に凸な関数（Uじの関数）である事を頭に入れておきます。

（１）頂点の位置の確認
2次関数の場合、頂点の位置は2乗の中身（x-2）が0になる点なので、頂点のx座標は2
そして、x=2の時
y = (2-2)2乗-3 = (0)2乗-3 = 0-3 = -3
よって、頂点の座標は(2,-3)になります。

（２）頂点はxの範囲の中か、外か
今回、xの取れる範囲は-1≦x≦4なので、2はこの間に含まれます。
よって、yの最小値は頂点の位置、y=-3ですね。

（３）グラフの左端・右端の座標を確認する
yの最小値が頂点だとすると、最大値の候補は左端か右端。
xに-1と4を代入して、左端と右端の座標を確認しましょう。

x=-1の時
y = (-1-2)2乗-3 = (-3)2乗-3 = 9-3 = 6
なので、左端の座標は(-1,6)

x=4の時
y = (4-2)2乗-3 = (2)2乗-3 = 4-3 = 1
なので、右端の座標は(4,1）

この二つを比べると、6＞1で左端の方が大きい。
よって、yの最大値は左端の位置、y=6

※この時、頂点の位置のx座標x=2は、-1≦x≦4の中で右寄り（-1よりも4に近い）な事を踏まえると、
2次関数の曲線は左右対称なので、頂点から遠い側⇒左側（x=-1側）が最大値とも予測出来ます。
違う視点から考えてみると、答えを見直すきっかけになるので正答率が上がりますよ。


【２】は、2次関数の問題に見えますが、要するにx2乗+3x-2=0の解を出せば良いです。

解の公式 x=(-b±√b2乗-4ac)/2a
に当てはめて考えると、
a=1 , b=3 , c=-2　なので
x = (-3±√32乗-4×1×(-2))/(2*1) = (-3±√9+8)/2 = (-3±√17)/2

ここで、(-3±√17)/2とは、(-3+√17)/2と(-3-√17)/2の事なので、
x = (-3+√17)/2 の時 y = 0
x = (-3-√17)/2 の時 y = 0

よって、x軸との交点は
((-3+√17)/2,0)と((-3-√17)/2,0)
になります。

確認のため、こちらも別の視点からの考察をしてみます。
この問題の答え((-3+√17)/2,0)と((-3-√17)/2,0)の中間を確認すると、
{((-3+√17)/2)+((-3-√17)/2)}/2 = {-6/2}/2 = {-3)/2 = -3/2
で、x=-3/2になります。

所で、2次関数y=x2乗+3x-2の頂点の位置は
y=(x+3/2)2乗-17/4　より、(-3/2,-17/4)

2次関数のグラフは、頂点を境に対象になるので、x軸との交点の中間は、ちょうど頂点の位置のx座標(-3/2)と等しくなって当然ですよね。


文字で書いているので分かりづらい事も多いと思いますが、
丁寧にグラフを描きながら解きなおすと色々な事に気がつけると思いますよ。

１つの問題を色々な視点から考える事は、ケアレスミスの防止にもつながりますし、
（実際のところ、私も今"打ち間違え"によるミスに途中で気がつきました・・・）
より高度な、難しい問題を解くための練習にもなると思います。

余計な説明をたくさん入れたせいで長くなってしまいましたが、
私からすると、数学の面白さは「答えにたどり着くまでの方法が無数にあっても、全て同じ答えになる事」
質問者様にも、そう思ってもらえると嬉しい限りです。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。詳しい解説参考します！

お礼日時：2011/10/13 00:56

No.2 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/10/13 00:10

【１】

x=-1のときy=6では？
x=4のときy=1では？

【2】
画像が判読できませんでした。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。計算ミスでした汗画像見にくくてすみません

お礼日時：2011/10/13 00:58