積分可能条件

大学の数学の問題です。
１．ｘ＝1/2のときf(x)=1、それ以外ではf(x)=0の関数で、[0,1]で積分可能を調べよ。

２．xが有理数の時f(x)=1、ｘが無理数の時f(x)=0の関数で、[0,1]で積分不可能を調べよ。

ある点について連続かどうかの証明はεーδ論法でやればいいのでしたよね？
開区間、閉区間についての証明が分かりません。よろしくおねがいします。

No.3 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/10/27 10:59

> 積分可能かどうかは、微分可能かどうかと同じで、値が連続でなければ積分不可能です.

そうかなぁ。いたるところ連続，有限個の不連続点がある程度なら，
リーマンの意味でも積分可能でしょ?
ルベーグの意味なら，2も積分できますよね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/10/27 10:57

「積分可能を調べよ」とか「積分不可能を調べよ」って, なんか日本語に不自由してる文章だなぁ.

ちなみに「ある関数が積分可能かどうか」は「積分の定義」によって変わりえるからね.

No.1 回答者： ZET235711 回答日時： 2011/10/27 03:41

積分可能かどうかは，要は，微分可能かどうかと同じで，値が連続でなければ積分不可能です．

[0,1]の間で，無理数は，（√２）／２，（√２）／３，（√２）／４，・・・等、無限にある訳で，上記と同様に，境界値の前後で，不連続であることを証明すれば，積分不可能かどうか判断できるのでは？

ｆ（ｘ）を積分した関数をＦ（ｘ）とおくと，
x=1/2のとき積分可能であり，F(x)値が求める積分値になりますね．
ｘ＝1/2のときのみ，Ｆ（ｘ）＝ｘ
x=1/2の前後で，Ｆ（ｘ）＝ｘが連続であれば，
[0,1]積分ｆ（ｘ）＝[0,1]（x=1/2）ｘ =1/2となりますね．

積分したものが，微分可能かどうか
つまり，その連続性を調べる必要があります．
フフフ・・・


どうなることやら．
閉区間とは，境界値を含む．
開区間とは，境界値を含まない．

これでどうにかなるでしょう．以上．