No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まず,問題の式
A・∇A=(1/2)∇A^2-A×rotAは
(A・∇)A=(1/2)∇A^2-A×rotA
の間違いですね.
まず,この証明のポイントは
A×rotAから始めると一番分かりやすいかと思われます.
まず,A×rotA のx成分を求めます.
それを(A×rotA)_xと表す事にします.
(A×rotA)_x=A_y(rotA)_z-A_z(rotA)_y
=A_y(自分で計算)-A_z(自分で計算)
=(まとめる)
=-(A_x∂/∂x+A_y∂/∂y+A_z∂/∂z)A_x
+(1/2)∂/∂x(A^2_x+A^2_y+A^2_z)
=-(A・grad)A_x+(1/2)(gradA^2)_x
となります.これをy,z成分についても計算すれば証明の完成です.回答をまるまる書くのはたぶんこのサイトのルール違反になったと思いますし,tessさんのためにもならないので,(自分で計算),(まとめる)の所くらいは自分で計算できるように式を省きました.
よく分からなかったら補足ください.
では,頑張って下さい.
No.2
- 回答日時:
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=707298でSiegmundさんが
「ベクトル解析の公式
∇(A・B)=(B・∇)A+(A・∇)B+B×(∇×A)+A×(∇×B) (1)
でA=B とおくと問題の式がすぐに出ます.」
とヒントを出されていますが、TRYされましたか?
質問の式の証明を左辺から右辺の表式を導き出そうとされていますが、それは極めて難しいし、また、そういう事をやるのに一体何の意味があるのか分かりません。質問の式は公式(1)から自然と導かれますから、公式(1)をキチンと証明しておけばよいと思いますよ。
そこで(1)の式の証明のヒントを以下に書いておきますので、是非ご自分でTRYしてみてください。尚、質問の式は(1)式でA=Bとおけばでます。
(1)の右辺の第1項のx成分を計算します。
(B・∇)A=(Bx∂/∂x+By∂/∂y+Bz∂/∂z)A (2)
→x成分=Bx∂Ax/∂x+By∂Ax/∂y+Bz∂Ax/∂z (3)
第2項のx成分は
(A・∇)B=(Ax∂/∂x+Ay∂/∂y+Az∂/∂z)B (4)
→x成分=Ax∂Bx/∂x+Ay∂Bx/∂y+Az∂Bx/∂z (5)
第3項のx成分は
B×(∇×A)=B×((∂Az/∂x-∂Ay/∂z)i
+(∂Ax/∂z-∂Az/∂x)j
+(∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)k) (6)
→x成分=By(∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)
-Bz(∂Ax/∂z-∂Az/∂x) (7)
第4項のx成分は
A×(∇×B)・・・上と同様にして
→x成分=Ay(∂By/∂x-∂Bx/∂y)
-Az(∂Bx/∂z-∂Bz/∂x) (8)
これらx成分を足しあわすと(1)式の右辺のx成分となります。
次ぎに(1)の左辺のx成分を計算すると
∇(A・B)のx成分=∂/∂x(AxBx+AyBy+AzCz) (9)
(1)の右辺のx成分は従って
→x成分=∂(AxBx)/∂x+∂(AyBy)/∂x+∂(AzBz)/∂x (10)
となります。一方(1)の左辺のx成分は
(∂/∂x)(AxBx+AyBy+AzBz) (11)
ですね。つまり(10)=(11)
ということで他の成分についても同様に計算できて、両辺の座標成分は等しいことが証明できます。
「ベクトル解析の公式
∇(A・B)=(B・∇)A+(A・∇)B+B×(∇×A)+A×(∇×B) (1)
でA=B とおくと問題の式がすぐに出ます.」
とヒントを出されていますが、TRYされましたか?
質問の式の証明を左辺から右辺の表式を導き出そうとされていますが、それは極めて難しいし、また、そういう事をやるのに一体何の意味があるのか分かりません。質問の式は公式(1)から自然と導かれますから、公式(1)をキチンと証明しておけばよいと思いますよ。
そこで(1)の式の証明のヒントを以下に書いておきますので、是非ご自分でTRYしてみてください。尚、質問の式は(1)式でA=Bとおけばでます。
(1)の右辺の第1項のx成分を計算します。
(B・∇)A=(Bx∂/∂x+By∂/∂y+Bz∂/∂z)A (2)
→x成分=Bx∂Ax/∂x+By∂Ax/∂y+Bz∂Ax/∂z (3)
第2項のx成分は
(A・∇)B=(Ax∂/∂x+Ay∂/∂y+Az∂/∂z)B (4)
→x成分=Ax∂Bx/∂x+Ay∂Bx/∂y+Az∂Bx/∂z (5)
第3項のx成分は
B×(∇×A)=B×((∂Az/∂x-∂Ay/∂z)i
+(∂Ax/∂z-∂Az/∂x)j
+(∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)k) (6)
→x成分=By(∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)
-Bz(∂Ax/∂z-∂Az/∂x) (7)
第4項のx成分は
A×(∇×B)・・・上と同様にして
→x成分=Ay(∂By/∂x-∂Bx/∂y)
-Az(∂Bx/∂z-∂Bz/∂x) (8)
これらx成分を足しあわすと(1)式の右辺のx成分となります。
次ぎに(1)の左辺のx成分を計算すると
∇(A・B)のx成分=∂/∂x(AxBx+AyBy+AzCz) (9)
(1)の右辺のx成分は従って
→x成分=∂(AxBx)/∂x+∂(AyBy)/∂x+∂(AzBz)/∂x (10)
となります。一方(1)の左辺のx成分は
(∂/∂x)(AxBx+AyBy+AzBz) (11)
ですね。つまり(10)=(11)
ということで他の成分についても同様に計算できて、両辺の座標成分は等しいことが証明できます。
No.3
- 回答日時:
(d/dx)f(x)g(x) = (df/dx)g + f(dg/dx)
=[(d/dx)_{fに作用}+(d/dx)_{gに作用}]f(x)g(x)
となることを利用すると
例えば、
∇・(AXB)
=(∇_{Aに作用}+∇_{Bに作用})・(AXB)
=∇_{Aに作用}・(AXB)+∇_{Bに作用}・(AXB)
適当に順番を入れ替えて
=B・(∇_{Aに作用}XA)-A・(∇_{Bに作用}XB)
=B・(∇XA)-A・(∇XB)
のように計算が比較的容易にできるようになると思います。
(ε_{ijk}ε_{mnk}=δ_{im}δ_{jn} - δ_{in}δ_{jm}のような計算を
地道にできるほうがあとあと役に立つような気もします。)
つまり、ばらしたあとにライプニッツ則を適用するのではなく
最初に適用してしまえば、あとは単なるベクトル演算
ということです。
∇(A・B)は
AX(CXB)=(A・C)B-C(A・B)
を知らないとちょっと難しいかなと思います。
あとは、Cを∇_{Bに作用}にして...
AとBを入れ替えた式と比べてみると...
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 数学 a1,a2, a3をベクトル空間Vのベクトルとする。a1+a2,a2+a3,a3+a1が一次独立のと 2 2022/10/02 15:55
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 物理学 ベクトル解析 回転と発散について 2 2022/04/20 18:27
- 数学 線形代数の正規直行系についての問題がわからないです。 1 2022/07/16 11:20
- 数学 行列の問題が分かりません。 3次正則行列Aの列ベクトル分割をA=(a1 a2 a3)とおくとき,次を 4 2022/06/23 08:34
- 数学 数式の証明 3 2023/02/05 22:26
- 宇宙科学・天文学・天気 AIが答えた方程式 1 2023/02/20 00:12
- 数学 ベクトルの一次独立が一通りに分解される理由 2 2022/05/19 19:53
- 数学 数学の証明問題について質問です。 今日私大入試があったのですが、AとBの共通部分となるxの範囲を求め 1 2023/02/10 15:27
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
sinθ=θ-(θ^3/3!)+(θ^5/5!)-・・...
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
合成抵抗の問題で
-
不確定性原理の右辺は h? h/2π?...
-
数学計算 オリフィス
-
量子化学の共鳴積分について
-
ベルヌーイの定理
-
1KWh=3600KWではない?
-
速度ポテンシャルと流れ関数
-
ガウスの発散定理について
-
ムーディー線図
-
実在気体のジュールトムソン係...
-
誤差の推定、デルタの式?
-
黒体輻射の熱力学的考察
-
物理の途中の計算で mcΔT=1/2m×...
-
交流ブリッジ回路のインピーダンス
-
eのlog2乗がなんで2になるので...
-
数3の問題です。 何をしたら線...
-
logの問題でルートが出てきたと...
-
eのマイナス無限大乗
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
振り子の周期T[s]を振り子の長...
-
合成抵抗の問題で
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
式変形
-
ベルヌーイの定理
-
E2=m2c4+p2c2
-
[0,1]区間上の関数f(x)=x^2に対...
-
量子化学の共鳴積分について
-
速度ポテンシャルと流れ関数
-
二次元極座標と微小距離
-
物理の公式の導出につきまして
-
過渡解は回路方程式の左辺 = 0...
-
不確定性原理の右辺は h? h/2π?...
-
熱物理学
-
次の等式を満たす整数x,yの組を...
-
ウェーバー・フェヒナーの法則...
-
E=mc^2は、エネルギーについ...
-
1KWh=3600KWではない?
-
グリーン関数とプロパゲータの...
-
衝突の式の誘導について
おすすめ情報