数II:恒等式に関する問題を解いてください。

　“ｘ³ +5x² +4x -4 = (x+1)³ +p(x+1)² +q(x+1) +r”　がxについての恒等式となるように定数p,q,rの値を求めよ。

どうぞよろしくおねがいします。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/11/15 12:10

恒等式の解法には、大別して2通りある。

この程度の問題に、微分を持ち出すのは大げさすぎる。

(1)　係数比較法
右辺を展開して次数ごとに揃えると、それが左辺と等しいから、各次数の係数が等しいとして解く方法。
それは常に成立するから、必要十分条件でもある。＃1で言われている方法。

(2)　数値代入法
全てのx(＝実数値)について成立するから、xについて適当な値を代入してやる。
例えば、x＝0、±1　を代入すると3式が出るから、それを連立するとp、q、rの値が求められる。
但し、これは必要条件(＝高々、3つの値に対して成立したに過ぎない)だから、求めた定数p、q、rの値を原式に代入して、常に成立する(＝十分条件)事を確認する。

No.3 回答者： f272 回答日時： 2011/11/15 11:23

x=-1を代入すればrが求まる。

ｘで微分してx=-1を代入すればqが求まる。
もう一度ｘで微分してx=-1を代入すればpが求まる。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/15 09:42

そのまま展開してもよいが、

y=x+1 で置換してから展開比較したほうが
楽で、計算間違いが少ないと思う。

No.1 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/11/15 08:21

展開してxの次数ごとに係数を比較。