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f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (z=x+yi)が正則関数のとき、
(∂^2/∂x^2)|f(z)|^2+(∂^2/∂y^2)|f(z)|^2=4|f’(z)|^2
が成り立つのを証明せよ
という問題です。
|f''(z)|^2=ux^2+vx^2 (ux=∂u/∂x、vx=∂v/∂x)
であることと、u,vが調和関数であることを用いて左辺を変形して証明しようと思うのですがどうしても右辺の形に持っていくことができません...
どなたかわかる方ご教授いただけないでしょうか?

A 回答 (2件)

∂u/∂x=u_x


∂v/∂x=v_x
∂u/∂y=u_y
∂v/∂y=v_y
{(∂/∂x)^2}u=u_xx
{(∂/∂y)^2}u=u_yy
{(∂/∂x)^2}v=v_xx
{(∂/∂y)^2}v=v_yy
とすると
f'(z)=(u_x)+i(v_x)=(v_y)-i(u_y)
u_xx+u_yy=0
v_xx+v_yy=0
だから

{(∂/∂x)^2}|f(z)|^2+{(∂/∂y)^2}|f(z)|^2
={(∂/∂x)^2}(u^2+v^2)+{(∂/∂y)^2}(u^2+v^2)
=2{(∂/∂x)(uu_x+vv_x)+(∂/∂y)(uu_y+vv_y)}
=2{(u_x)^2+uu_xx+(v_x)^2+vv_xx+(u_y)^2+uu_yy+(v_y)^2+vv_yy}
=2{(u_x)^2+(v_x)^2+(u_y)^2+(v_y)^2+u(u_xx+u_yy)+v(v_xx+v_yy)}
=2{|f'(z)|^2+|f'(z)|^2+u*0+v*0}
=4|f'(z)|^2
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この回答へのお礼

詳しく解説をしていただき恐縮です(汗 本当にありがとうございました!

お礼日時:2011/11/21 18:20

左辺に



|f|^2 = (u^2)+(v^2)

を代入して、普通に微分する。それから、

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x

を使ってyによる二階微分を全部取り除く。んで整理すれば、

4((ux)^2+(vx)^2)

になるでしょ。
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この回答へのお礼

なるほど!ありがとうございますm(_ _)m

お礼日時:2011/11/21 18:17

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