絶対値の場合分け

Question

御世話になっております。

絶対値のグラフについての質問です。

y=|x^2-4x+3| ですが、絶対値記号の中が2次式の場合分けは、2次不等式と同じ要領で解けば良いのでしょうか。
例えば、式の値が0以上のときは……x^2-4x+3≧0 と置いて、x≦1 3≦x を付帯条件にしてそれぞれの場合分けをすれば良いのでしょうか。

すいません。独学なので右も左も解りません。せめて右の行き先を教えて下さると嬉しいです

Tarow1 · Accepted Answer

y=|x^2-4x+3|の場合では、あなたのおっしゃる通り「x≦1, 3≦x」と「1＜x＜3」に分けてグラフを書くと良いと思います。
絶対値が入った式のグラフの考え方も、「絶対値の中が正になるか負になるかで場合分け」で問題ありません。
ちょうどよいページを見つけたので、URLを記しておきます。

ちなみに、場合分けが複雑になるときは、数直線を利用すると分かりやすいですよ。

参考URL：http://youngleaf.web.fc2.com/m-1/m-1-5-siki/m1-5-6.html

hiehiekko · Answer

dormitoryさんの考え通りで解ける思います．

解答としては，
y=x^2-4x+3がy≧0になるときと，y＜０になる時で場合分けをして考えます．

y≧0になるのは，dormitoryさんのおっしゃる通り，x≦1,3≦xの範囲になります．
逆にy＜０になるのは，1＜x＜3の範囲になります．

よって，y=|x^2-4x+3|は，
x≦1,3≦xのとき，絶対値の中は正の値なので，そのまま絶対値を外し，y=x^2-4x+3，
1＜x＜3のとき，絶対値の中は負の値なので，マイナスを付けて絶対値を外し，y=-(x^2-4x+3)→y=-x^2+4x-3となります．

これよりy=|x^2-4x+3|のグラフは，x≦1,3≦xでy=x^2-4x+3のグラフを書き，
1＜x＜3の範囲でy=-x^2+4x-3のグラフを書きます．
グラフの全体の形はWのような形になります．

これは，y=x^2-4x+3のグラフの1＜x＜3の範囲（yの値が負の範囲）が，
x軸に対して対称なグラフでもあります．

gohtraw · Answer

ｙ＝ｘ＾２－４ｘ＋３　のグラフは下に凸（上側が開いている）放物線になり、
ｘ＾２－４ｘ＋３＝０とおいたときの解、ｘ＝１および３がｘ軸との交点を表します。つまり、１＜＝ｘ＜＝３の範囲ではこのグラフはｘ軸よりも下にあり、ｙは負の値を取ります。従って、このグラフの１＜＝ｘ＜＝３の範囲をｘ軸に関して上側に折り返したものがｙ＝｜ｘ＾２－４ｘ＋３｜のグラフになります。これを式で表せば、１＜＝ｘ＜＝３の範囲で絶対値記号の中が負になるので

ｙ＝ｘ＾２－４ｘ＋３　（ｘ＜１、３＜ｘ）
ｙ＝－ｘ＾２＋４ｘ－３　（１＜＝ｘ＜＝３）
ということになります。

絶対値の場合分け

y=|x^2-4x+3|の場合では、あなたのおっしゃる通り「x≦1, 3≦x」と「1＜x＜3」に分けてグラフを書くと良いと思います。

dormitoryさんの考え通りで解ける思います．

ｙ＝ｘ＾２－４ｘ＋３ のグラフは下に凸（上側が開いている）放物線になり、

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