（線形代数）基底の延長

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質問者：kawaisoonano
質問日時：2011/11/29 19:27
回答数：6件

A=(2 -1 -1 1,-1 2 -1 2, -1 -1 2 -3)の行列がある。それに対してＲ＾４からＲ＾３について、
a)像の基底と、それを延長したＲ＾３の基底を求めよ。
b)核の基底と、それを延長したＲ＾３の基底を求めよ。

求めたところ、像の基底は(2 -1 -1)(-1 2 -1) (3 1 1 0)核の基底は(-2/3 -1/3 0 1)と分かったが、基底の延長の仕方を教えてくださいませんか？

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回答 (6件)

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No.6ベストアンサー

回答者： alice_44
回答日時：2011/11/30 10:30

n 次元ベクトル空間中の、r 次元部分空間の

基底が与えられているとき、それを
n 次元空間の基底へ延長するには…

一番簡単な方法は、何でもいいから
n 次元ベクトルを n-r 個もってきてみること。

それを r 次元空間の基底と並べて
成分表示すれば、n 次正方行列ができる。
その行列の det が 0 でなければ、まんまと成功。
n-r 本をランダムに選べば、そうなる確率が高い。

運悪く det が 0 であったら、
n-r 本を選ぶところからやり直し。
何回かやれば、そのうち上手くいく。

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No.5

回答者： alice_44
回答日時：2011/11/30 09:46

質問文中の答えのオカシイところ：

・像は３次元空間の部分空間なのに、
　基底として４次元ベクトルを挙げている。
・しかも、rank A = 2 なのに、
　基底ベクトルを３本にしている。
・核の基底も、ベクトルの数が正しくない。
　核は 4 - rank A 次元。

像の基底を挙げるには、A の列ベクトルの中から
一次独立な rank A 本の組を選ぶ。

核の基底を挙げるには、Ax=0 を解く。
この連立一次方程式は不定方程式であり、
一般解は 4 - rank A 個の自由変数を含む。
その自由変数の係数を列ベクトルとして
取り出したものが、核の基底。

まずは、ここまでを再考のこと。