No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
D={(x,y,z); |x|+|y|+|z|<=1 }
Dの領域を図示すると原点対称の正八面体の内部領域となります。
x,y,zについて対称性から
I=∫∫∫[|x|+|y|+|z|<=1] x^2 dxdydz
=8∫∫∫[x+y+z<=1,x>=0,y>=0,z>=0] x^2 dxdydz
=8∫[y:0,1] dy ∫[z,0,1-y]dz∫[x:0,1-y-z] x^2 dx
=8∫[y:0,1] dy ∫[z,0,1-y] (1/3)(1-y-z)^3 dz
=(8/3)∫[y:0,1] dy ∫[z,0,1-y] -(z+y-1)^3 dz
=(8/3)∫[y:0,1] (1/4)(y-1)^4 dy
=(2/3)∫[y:0,1] (y-1)^4 dy
=(2/3)(1/5)*1
=2/15
(2)
D={(x,y); |x|<=1,|y|<=1,|x-y|<=1 }
積分領域Dを図示して考えて下さい。亀の甲形の六角形の内部領域ななります。
I=∬[D] |x-y| dxdy
積分領域Dおよび被積分関数|x-y|がy=xについて対称性を有するから
I=2∬[D'] (x-y) dxdy
D'={(x,y):|x|<=1,|y|<=1,0<=x-y<=1}
D'をx:[-1,0]の領域とx:[0,1]の領域に分割して積分すると
I=2{∫[-1,0] (x+1)dx +∫[0,1] dx}
= 1+2
= 3
この回答へのお礼
お礼日時:2011/12/03 18:33
とても丁寧にかつわかりやすくご回答いただき、ありがとうございます。
(1)は良くわかりました。
(2)はご指摘の計算方法と1さんの方法と両方やってみましたけれど結果は両方とも4/3と
なってしました...
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