重積分により体積・面積を求める問題

（１）放物面ｚ＝ｘ＾２＋ｙ＾２とｚ＝４－ｘ＾２ーｙ＾２で囲まれる体積を求めよ
以上のような問題において図形的にどちらの関数が上にくるのかいまいち判別できません。
平面上の関数なら概形や位置関係がわかるのですが・・・

（２）上半球面ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１、ｚ＞０、ｚ＝√３/２
範囲Ｄをｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＜＝１/4と求めてからさっぱりわかりません。
最初の式をｆ（ｘ、ｙ）ｚ＝√１-（ｘ＾２＋ｙ＾２）、さらにｇ（ｘ、ｙ）＝√３/２としても
困難な計算になるため正しい方法とは思えません。
どなたか知恵をお貸しください。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/07 09:05

続いて(2)について

>「上半球面ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１、ｚ＞０、ｚ＝√３/２」で囲まれた立体の体積Vを求めれば良いですね。
立体は半径1の半球をz=√3/2の平面で切断し、上側をそぎ落とした残りの部分の立体となります。
これもz軸を中心とした回転体の体積で求まります。

>範囲Ｄをｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＜＝１/4と求めてからさっぱりわかりません。
この範囲をどこから出したのか、さっぱり分かりません。

立体をy=0の平面（xz座標面）で切断した座標面で考えると
回転体の体積公式を使って
　V=π∫[0,√3/2] x^2 dz , ただし x^2+z^2=1
V=π∫[0,√3/2] (1-z^2) dz
この位の積分は出来ますね。やってみて下さい。
　（ → V=3(√3)π/8 )

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/07 08:45

まず(1)について

両方ともx軸を回転軸とする回転放物面です。
求める立体は茶碗を上向きに置き、その上にお内大きさの茶碗を下向きにして積み重ねて置いたとき、両方の茶碗の間に出来た空間が、2つの回転放物面に囲まれた体積の空間になり、下の茶碗の内面がz=x^2+y^2で表される曲面、上の下向きのなった茶碗の内面がy=4-x^2-y^2の曲面に対応します。囲まれた立体の中心軸がz軸、立体をz軸に垂直な面で切断すると円盤になります。
立体をxz座標面（y=0の平面）で切断すると添付図のような黄色と水色で塗り潰した断面図になります。上下の曲線は
下が z=x^2, 上が　z=4-x^2 となります。
図の水色の領域をz軸の周りに一回転してできる回転体が求める立体となりますので回転体の体積公式を使えば重積分を使わなくても、立体の体積Vを求めることが出来ます。
立体はz=0～2の区間とz=2～4の区間が対称、かつ合同なので、下半分を求め２倍すれば良く
　V=2*π∫[0,2] x^2 dz　、ここで z=x^2
で求まります。
　V=2π∫[0,2] z dz
この位の積分なら出来るでしょう。やってみて下さい。
　（→ V=4π)

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/12/06 21:05

ｚ＝ｘ＾２＋ｙ＾２は（０，０，０）を通り下に凸、ｚ＝４－ｘ＾２ーｙ＾２は（０，０，４）を通り上に凸になるのではないでしょうか。