数学I ２次関数とそのグラフについて

数学Iを独学で勉強しております。　
２次関数について躓いてしまい、理解できない箇所があります。

２次関数
(1)y=3(X-4)^2　と　(2)y=3(X+4)^2のグラフはy=3X^2をどのように平行移動した物か。

(1)は、X軸方向に4だけ平行移動したもの
(2)は、X軸方向に-4だけ平行移動したものが答えになるとあったのですが、

(1)はどうして、-4なのにプラスの方向へ移動するのですか？

(2)の解説に、y=3(X+4)^2=3{ｘ-(-4)}^2と変形できるので、(2)は、X軸方向に-4だけ平行移動したものである。とあったのですが、どうして式を変形しなけばならないのでしょうか。

No.5 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/12/28 10:59

二次関数の平方完成をしっかり復習しておいてください。

二次関数　ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ　を　ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）＾２＋ｑ　の形に変形することを平方完成と呼びます。この変形により、二次関数の重要な　頂点の座標　（ｐ、ｑ）を調べることが出来ます。（平方完成の詳しい説明は割愛しますが、とても重要な課題ですので、別途ネットなどで検索して、解説を読まれると良いと思います。）


ｙ＝３ｘ＾２　は、　ｙ＝３（ｘ－０）＾２　＋　０　と表すことが出来、これは頂点が（０，０）であることを示します。

同様に、ｙ＝ｙ＝３（ｘ－４）＾２　は、　ｙ＝３（ｘ－４））＾２＋０　と表すことが出来、頂点は、（４，０）です。


更に、ｙ＝ｙ＝３（ｘ＋４）＾２　は、　ｙ＝３（ｘ－（－４））＾２＋０　と表すことが出来、頂点は、（－４，０）です。

二次関数のグラフを平行移動するということは、頂点を移動させることになりますので、この変形により、それぞれの関数の頂点がどの様に移動するかは、一目瞭然となるかと思います。

出来れば、簡単で良いのでグラフを書いてみると、よりはっきりと分かります。


上記の説明でよく分からないところは、二次関数のグラフ、平方完成、頂点などの解説（ネット上でも多数あります）のところに詳しく書いてあると思いますので、良く復習してみてください。微分積分が出てくるまでの二次関数の肝となる重要な課題です。
だいたい中３～高１レベルの教材（私立だと中２の後半くらい）の範囲となります。

ご参考に。

No.4 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/12/27 15:51

>　y=3(X-4)^2は　y=3X^2をどのように平行移動した物か。

> (1)はどうして、-4なのにプラスの方向へ移動するのですか？
ここ，反対になるなぁ，どうしてだろう，って混乱するんですよね。

元の操作y=3X^2は，「Xを二乗して3倍する」操作です。
新しい操作y=3(X-4)^2は，「Xから4を引いて，二乗して3倍する」操作です。
「新しい操作」は「Xから4を引いて元の操作をする」ことです。
逆に「Xを4増やしてから新しい操作をする」のと「元の操作」は同じ結果です。
「Xを4増やしてから」ということは，元のグラフを右に(Xが大きくなる方向に)4動かすことです。

No.3 回答者： noname#158634 回答日時： 2011/12/27 15:04

(1)

X軸方向へ移動させた場合、y=a(x-移動分)^2だから。つまり、-4なのではなくて、移動分の4を引いている。
ある関数のグラフをX軸方向へN移動させた関数とは、xに(x+N)を代入したときに「ある関数」になる関数です。
ということは、xにx+4を代入したときy=3x^2になるのはy=3(x-4)^2。
理屈だけではわかりにくいのならグラフを目で見て確認してください。否応なく納得できるはず。

(2)
変形しなければならないとはどこにも書いてないでしょう？
(1)で言った通り「y=a(x-移動分)^2」の形にすることで「移動分」がわかりやすいから変形しただけ。

No.2 回答者： ude_T 回答日時： 2011/12/27 14:58

y=a(x-p)²+qの頂点は（p,q）となるという考え方をもとに解説が書かれているからかと思います

y=3(x-4)²で言えば、x=4のときに最小値の０になるから頂点は(4,0)となります

X軸方向のプラスに動かしたいときに４増やしてしまったらxの値はその分減らさないといけないのでグラフは左の方に移動してしまいますよね

No.1 回答者： f272 回答日時： 2011/12/27 14:58

> (1)はどうして、-4なのにプラスの方向へ移動するのですか？

Xがプラスの方向へ移動した分を，X-4とすることでキャンセルできるからです。

> どうして式を変形しなけばならないのでしょうか。

式を変形しなければならないとは書いていないよ。式を変形した方がわかりやすいということです。