高校物理の熱と気体の問題です

内部が断熱壁で２つに分けられている断熱容器がある。分けられた一方の側の容積はV１でその中に絶対温度T1、圧力p１のヘリウムが満たされている。他方の側は容積はV2でその中に絶対温度T2、圧力p２のアルゴンが満たされている。断熱壁を取り除くと２つの気体は混合し、やがて容器内の混合気体の温度と圧力は一様になった。ここで、ヘリウムとアルゴンはともに単原子分子の理想気体であるとし、気体定数をRとする。

（１）断熱壁を取り除く前の容器内のヘリウムとアルゴンのモル数はそれぞれいくらか。また内部エネルギーはそれぞれいくらか。

（２）混合後の温度と圧力はいくらか。
混合することによって、２つの気体分子の熱運動の平均の速さの比がどのように変化するのか考えてみる。ヘリウムとアルゴンの質量比を１：１０とし、T1：T2＝１：２であったとする。

（３）気体分子１個の質量をm、気体の絶対温度をTとすると、理想気体の分子の平均の速さは、アボガドロ数Nを用いてどう表されるか。

（４）混合前後のヘリウムとアルゴンの平均の速さの比を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2012/01/09 11:35

（１）内部エネルギーを温度で表した時の表現は高校で出てくるのでしょうか。

知っていることが要求されているのでしょうか。
気体分子運動論を使って圧力の表現を求めるところで出てくるとは思います。
でもそれで得られた結果は「参考」としての位置づけぐらいのつもりだったのですが。

　　　（２）は内部エネルギーが物質量と絶対温度に比例するということだけで出てきます
　　　　　　しかし、ヘリウムとアルゴンで比例定数が等しいということは必要です。
　　　（３）は比例定数の具体的な表現が必要です。
　　　　　　この比例定数の表現は気体分子の構造によって変化します。
　　　　　　内部エネルギーは運動エネルギーの総和だという事も必要になります。
　　　　　　どういう運動エネルギーまで考えるかは分子の構造によって変わってきます。
　　　　　　これは比例定数の内容と連動しています。

気体の性質を気体の種類に関係ないとして議論できるモデルが「理想気体」です。
ところが内部エネルギーでは理想気体のグループ分けが必要になります。話が難しくなります。
比例定数の表現は与える方がいいのではないでしょうか。

（２）ヘリウムとアルゴンの物質量をそれぞれｎ１，ｎ２とします。
まず温度を求めます。エネルギー保存則を使います。
混合前のヘリウム、アルゴンの内部エネルギーをＵ１，Ｕ２とします。
　Ｕ１＝ｎ１ｃＴ１、Ｕ２＝ｎ２ｃＴ２
　　　Ｃは比例定数ですがヘリウムとアルゴンでは共通です。（酸素や水素、窒素では異なります。）

混合後の温度をＴとします。
内部エネルギーが物質量（数）と温度だけで決まるということはヘリウム、アルゴンという気体の種類には関係しないということです。混合気体になれば物質量の合計と温度だけで決まるということです。
Ｕ１＋Ｕ２＝Ｕ＝(ｎ１＋ｎ２)ｃＴ
ｎ１Ｔ１＋ｎ２Ｔ２＝(ｎ１＋ｎ２)Ｔ

温度と体積、物質量が決まりましたから圧力も決まります。