No.4ベストアンサー
- 回答日時:
OHを高さとする円錐がある。
OHを2:1に内分する点をMとし、Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=3cm、底面の半径を9cmとするとき、
HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。
解けたのですが、解説の欄に
9^2π×9÷3(1-8/27)
という式が載ってました…
>これはどういう考え方なのでしょうか。教えてください_(._.)_
小さい円錐と大きい円錐の体積比は、2^3:3^3=8:27より、
円錐台と大きい円錐の体積比は、(27-8):27 だから、
円錐台の体積
=大きい円錐の体積×{(27-8)/27}
=(9^2π×9÷3)×(1-8/27)
ということだと思います。
No.3
- 回答日時:
質問者さんが行なわれた、「大きい円錐から小さい円錐を引く」考え方と同じです。
9³-6³
=9³(1-(2/3)³)
=9³(1-(8/27))
くだんの円錐を縦に切って、断面を見たとき、大きい円錐の断面と小さい円錐の断面とは、
高さが相似比3:2です。
立体の体積は相似比の3乗ですので、27:8となります。
No.2
- 回答日時:
>解説の欄に
>{((9^2)π×9)÷3}(1-(8/27)))
>という式が載ってました…
>これはどういう考え方なのでしょうか。
>ちなみに自分は、大きい円錐から小さい円錐を引いて
体積を求めました。
解説も質問者さんと同じ計算をしていることがわかりませんか?
V1={((9^2)π×9)÷3}
は大きい円錐の体積V1の式である事はわかりますか?
底面の面積S1が S1=(半径)^2*π=(9^2)π
高さH1=MH*(1+2)/1=3HM=9
体積公式V1=S1*H1/3={((9^2)π×9)÷3}
ですね。
小さい円錐の体積V2=V1*(相似比)^3=V1*(2/(2+1))^3=V1*(8/27)
従って円錐台の体積Vは
V=V1-V2=V1-(8/27)V1=V1{1-(8/27)}={((9^2)π×9)÷3}*{1-(8/27)}
と大きい円錐から小さい円錐を引いた体積の式が、解説の欄の式に等しいことが分かるでしょう!
No.1
- 回答日時:
たぶん体積比の考え方だと思います。
OHを高さとする円錐の体積を1と置くと、OMを高さとする円錐は
高さも半径も2/3です。円錐の体積が半径^2×高さ÷3であるため
OMを高さとする円錐は1×(2/3)^3となります。
よって体積比はOHを高さとする円錐の体積:OMを高さとする円錐の体積=1:8/27です。
なのでOHを高さとする円錐の体積が9^2π×9÷3なので円錐台の体積は
(1-8/27)×(9^2π×9÷3)となります。やってることは質問者様のやり方と同じです。
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