判別式

aを定数とするとき
x＾２-２（a＋１）x＋２a＾２＋３＝０の解の種類を判別せよ。

この問題の解説のヒントに
「常にD/４＝-（a-１）＾２-１＜０」と書かれていました。

このヒントを見てもさっぱりでした。
どうして常にそうなるのでしょうか、解き方が分かりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： ONEONE 回答日時： 2012/02/28 05:23

ax^2 + 2bx + c = 0

の判別式は「D/4 = b^2 - ac」でした。ここがまず勘違いをなさっていますね。

aが公式と問題と2箇所で使われているので混乱しないようにしましょう。
（本当は別の文字を使ったほうがよいのですが…）

判別式を立てると
D/4 = (a + 1)^2 - (2a^2 + 3)
となります。これを整理すると
- a^2 + 2a - 2 = - (a - 1)^2 - 1
となります。

No.4 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/02/28 12:22

[基本]

二次方程式ax^2+bx+c=0の判別式は
D=b^2-4a*c
です。

[ひとつの発展]
xの係数に2倍がついてb=2b'になっている二次方程式
ax^2+2b'x+c=0の判別式は，
D=4b'^2-4ac
です。計算の便宜上
D/4=b'^2-ac
も覚えておくと便利です。

[問題では]
x＾２-２（a＋１）x＋２a＾２＋３＝０
なので，D/4=(a+1)^2-1*{2a^2+3}です。
#3さんおっしゃるように，これを整理すると，
D/4=a^2+2a+1-2a^2-3=-a^2+2a-2=-(a-1)^2-1
と変形できます。

あとは#1さんがおっしゃるように，aがどんな値でも-(a-1)^2-1<0ですから，
判別式は常に負の値をとることがわかります。

No.2 回答者： noname#150695 回答日時： 2012/02/27 23:36

No.1です

二乗すれば負というのは少し言い方が違います
二乗すれば正か0で、そこに－をかけて負か0になるんです

判別式については、確かに違います…
無責任になってしまいますが…お手上げなので他の方にお任せしたいです


ヒントの判別式-（a-１）＾２-１＝-a^2+2a-2
実際にb-ac(-２（a＋１）を2bとした)ときの判別式-(a+1)-2a^2-3＝-2a^2-a-4
と全然違いますし…

この回答へのお礼

二乗して、それに-がつくので負になるということですね。

自分でも色々計算しているんですが、どうやったらヒントの式になるのかが
わからないです……

回答ありがとうございました

お礼日時：2012/02/27 23:42

No.1 回答者： noname#150695 回答日時： 2012/02/27 23:16

－×＋×＋＝－

－×－×－＝－
と、二乗は必ず正か0になりそこに－をかければ必ず負か0になります ですから
-（a-１）＾２-１の－(a-1)^2は絶対に負か0になり、-1をしているので0だとしても負となるので、-（a-１）＾２-１は０未満、つまり-（a-１）＾２-１＜０
ではないでしょうか

この回答へのお礼

二乗すれば-になってD＜０になるから、ということでしょうか!

D/４＝-(a-１)^2-１

というのは判別した形でいいんですかね?
公式とは違う気がするのですが…(D/４＝b-ac)

お礼日時：2012/02/27 23:22