年利率r、1年後との複利とする
毎年はじめにPずつ積み立て貯金し、n年経過時元利合計Sn
n年経過時には、1年目のはじめのPはP(1+r)^nに、
2年目のはじめのPはP(1+r)^n-1に、・・・、n年目のはじめのPはP(1+r)になる
したがってSnは
Sn=P(1+r)^n+P(1+r)^n-1+・・・+P(1+r)
n年経過時には、1年目のはじめのPはP(1+r)^nに、
2年目のはじめのPはP(1+r)^n-1に、・・・、n年目のはじめのPはP(1+r)になる
この部分なんですが
なぜこのような式になるのか意味がわからないです
解説よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
再度訂正します。
質問文のSn=P(1+r)^n+P(1+r)^n-1+・・・+P(1+r)も正解です。
この式は最初のP円、2年目のP円・・・・そして最後のP円が
最初からn年後にいくらになっているかという順に書き表した式であり、
P(1+r)+P(1+r)^2+・・・・+P(1+r)^(n-1)+P(1+r)^n
と等しくなります。
No.3
- 回答日時:
補足
解答ありがとうございます!
大分わかってきたのですが
まだ一つ分からないことがあります
P(1+r)+P(1+r)^2+・・・+P(1+r)^n-1+P(1+r)^n
としてはだめなんですか?
なぜ2年目をP(1+r)^(n-1)円で表すのでしょうか?
よろしくお願いします
>済みません。
P(1+r)+P(1+r)^2+・・・+P(1+r)^n-1+P(1+r)^n
が正解です。
うっかり質問文をそのままコピーしてしまいました。
No.2
- 回答日時:
P円が1年後にP(1+r)円になるのはいいですね?
元金P円に利息P×r円を足してP+Pr=P(1+r)円です。
複利計算では、この金額が2年目の元金になります。
従って、2年目のはじめの積み立てをしなければ、最初の
P円は2年後には、元金P(1+r)円とそれの利息
P(1+r)×r円の合計、すなわち
P(1+r)+P(1+r)×r=P(1+r)^2円になっています。
同じように3年目の元金はP(1+r)^2円で、それに
P(1+r)^2×r円の利息がつくので、3年後の元利合計は
P(1+r)^3になります。
ですからn年後には、最初のP円がP(1+r)^n円になる
ことになります。
2年目のはじめにP円を預ければ、経過年数が1年短い
ですから、最初にP円預けてからn年後であれば、2年目
のはじめのP円はP(1+r)^(n-1)円になっています。
あとは同様です。最後に預けたP円は1年しか経っていない
のでP(1+r)円であり、これらを合計すると
Sn=P(1+r)^n+P(1+r)^n-1+・・・+P(1+r)
になります。
この回答への補足
解答ありがとうございます!
大分わかってきたのですが
まだ一つ分からないことがあります
P(1+r)+P(1+r)^2+・・・+P(1+r)^n-1+P(1+r)^n
としてはだめなんですか?
なぜ2年目をP(1+r)^(n-1)円で表すのでしょうか?
よろしくお願いします
No.1
- 回答日時:
金額Pを預けるとi年後には複利でP(1+r)^i に増えていますよね。
こうしてn年経ったとき1年前のPはP(1+r)に増えています。2年前のPはP(1+r)^2 になります。こうして順次計算して行くと、n年前のPはP(1+r)^(nー1)になっています。するとPを今年預けた時点の元利合計は今年のPをこれに加え、
Sn=P(1+r)^n-1+・・・+P(1+r)+P
となりますよ。貴方が提示された元利合計はちょっと違っています。但し今年のPを預け、ちょうど1年経って来年のPを入れる直前だと貴方の式になります。
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