微小振動の周期

長さ１メートルの一様な棒の一端を天井に蝶番で
とりつけてつるす。このときちょうつがいを支点にして
微小振動する時の周期は？という問題があるのですが

公式Ｔ＝２π√ｌ／ｇ　にｌ＝０．５　ｇ＝９．８
をいれればいいと思ったのですが答えが合いません。
なぜですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ekitaigenzou 回答日時： 2003/12/21 18:00

#4です．

ご質問が，書かれているとおりだとすると，

T=2π√(2/3(l/g))

ではないですか？

理由は，J=(1/3)ml^2で，　(1/2)ml^2ではないからです．
Jは，慣性モーメントです．

これは，単純に重心に質量が集中しているとして
計算した場合と異なります．

トルク(モーメント)は，(1/2)mglsinθ -> sinθをθで近似．
です．

No.7 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/12/22 19:04

＃１のgrothendieckさんが書かれているように力学の教科書を参照されるといいと思います。

以下はその要点だけ。
長さLの一様な棒（剛体）の慣性モーメントをIとし、重心（棒の真中）に鉛直方向に重力Mgが作用しているとします。鉛直方向となす角をθとするとこの棒の回転の運動方程式は
　I(d^2θ/dt^2)＝－Mg(L/2)sinθ　　　(1)
となります。慣性モーメントIは定義により
　I＝∫[0,L]x^2dm＝(M/L)∫[0,L]x^2dx＝ML^2/3　　(2)
ここでdm＝λdx＝(M/L)dxでλは線密度です。
ここまできたらあとは(1)の微分方程式を解くだけですが、いま微小振動を考えていますから
　sinθ≒θ　　(3)
と近似できますね。(1)より
　I(d^2θ/dt^2)＝－Mg(L/2)θ　　(4)
これから
　(d^2θ/dt^2)＝－k^2θ　　(5)
ただし
　ｋ＝√(MgL/2I)^2
(5)はよく見かける単振動の微分方程式ですね。その周期は
　T＝2π/√k　　(6)
ですから求める周期は
　T＝2π√(2L/3g)　　(7)
となって＃５のekitaigenzouさんが書かれてた答えとなります。ポイントは剛体の回転の運動方程式にあるのですね。尚、省略しましたが剛体の回転の運動方程式は力学のテキストを読んでください。不明な点があれば再度質問されればいいと思います。

　

No.6 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/12/22 04:52

　

　　　　　　　蝶板
━━━━━◎━━━━┯━━━━
　　　　　　●　　　　　　　/　糸の
　　　　　●↓　　　　　　/　長さは
　　　　●↓mg　　　　●　　棒の半分
　　　●↓mg　　　　　↓
　　●↓mg　　　　　　Mg
　　↓mg　　　　　　　棒の全質量と同じ振り子
　　mg

　重力は均等分布ゆえ中央で代表できそうだ。

　振り子の動きは左右の端がちょっと高くて中央が低い。そのちょっとした位置エネルギの差で動いている。
下図は中央に来た瞬間である。
右側のふりこの速度エネルギは 1/2・ＭV1^2

　　　　蝶板
━━━◎━━━━━━┯━━━━
　　　　 ●>　　　 　 　 　 │
　　　　 ●→ 　 　 　 　 　│
　　　　 ●-→V2 　 　 　 ●→ Ｖ1
　　　　 ●─→
　　　　 ●-─→

棒の各部分の速度は三角状に分布している。こんな場合の全体の速度エネルギはどうなるのだろう？

　　上図の縦方向を ｙ とする。
　　　y=0 は蝶板、y=Lは棒の先端である。
　　棒の単位長さの質量をρ[kg/m]と書く。
　　長さ dy の質量はρdy となる。
　　　（積分に持ち込む準備だ）
　　棒の全長を Ｌ とする。ρLは棒全部の質量だ。

速度の三角分布を ay と書く。a は比例定数。
すると、長さ dy の微小団子の速度エネルギは、

　　1/2・ρdy・(ay)^2

となる。
これを y=0～Lの間で合計すれば棒全体の速度エネルギである。

　∫｛1/2・ρdy・(ay)^2｝　　　[積分区間y=0～L]
　= 1/2・ρ・ｋ^2・ ∫y^2 dy　　[同上]
　= 1/2・ρ・a^2・[1/3・y^3]　　[同上]
　= 1/2・ρ・a^2・1/3・L^3

ここで ρL は棒全体の質量Ｍである。
またaLは棒の先端の速度である。上図右の振り子と同じ長さのところの速度をV2と書けば先端の速度は2V2である。
よって、
　= 1/2・M・1/3・(2V2)^2

これが上図右のふりこの速度エネルギと同じだとして整理すると、

　　V2 = √■・V1　　となるらしい。

もしそうなら所要時間は速度に反比例ゆえ √■ 倍になる。本当だろうか？

No.4 回答者： ekitaigenzou 回答日時： 2003/12/21 17:15

面白い問題ですね．

できれば，答えが分かっておられるようですので，

>公式Ｔ＝２π√ｌ／ｇ　にｌ＝０．５　ｇ＝９．８
>をいれればいいと思ったのですが答えが合いません。
>なぜですか？

正解を教えていただけませんか．
正解から類推するのは邪道ですが，わたしも学生時代
よくやりました．

この手の問題は，問題を出す側の論理で出すため，問題自体がよくない(日本語の表現としても)場合が多いです．
私は，学生自体は，問題の意味する所を理解するために，
大部分の時間を費やしていました．

ちなみに，この問題は，棒だけがつり下げられていて，
おもりは付いてないように見えますが，どちらでしょうか．

ついているとしたら，どんなおもりですか．

No.3 回答者： First_Noel 回答日時： 2003/12/21 14:16

実際には剛体の運動ですが，

えいや！の近似で簡単化するにしても，
ｌ＝０．５ｍは重心を考えているのだと思いますが，
おもりがついているので実際にはもう少し下に重心が
来ると思います．
従って，質問文の値より少し長くなるのでは？

No.2 回答者： tokorotain 回答日時： 2003/12/21 12:18

ｌ=0.5　というのはなんでしょう？

棒の長さが1ｍならｌは１なのでは？

No.1 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/12/21 12:16

公式Ｔ＝２π√ｌ／ｇは重さが無視できる糸に重りが付いた振り子の周期ではないでしょうか。

一様な棒と書いてあるときは通常剛体の棒として扱うことになっていると思います。教科書の剛体の運動の所を御覧下さい。