z^n - 1 を一次式の積に因数分解して, 1/(z^n - 1) の 1 における留数を求めよという問題で疑問があります。
1/(z^n - 1) = 1/(z - 1){z^(n - 1) + ・・・ + z + 1}
上のように因数分解できるので, 1 における留数は 1/n だと思うのですが, z^(n - 1) + ・・・ + z + 1 は一次式の積に分解できますか。
また, z^(n - 1) + ・・・ + z + 1 = (z - z_1) ・・・ {z - z_(n - 1)} と分解すれば、留数が簡単に求まるんでしょうか。 かえって面倒になりませんか。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
留数の求め方は貴方のやり方でよく、
残りの n-1 次式を因数分解しても、
z=1 での留数を求める役には立ちません。
一次式の積に分解することは可能で、
zのn乗=1 ⇔ z=eの(2πik/n)乗, kは整数
より、因数定理を使って分解すればよいです。
部分分数分解が完了すると、各極での留数が
分子に並ぶことになります。
No.2
- 回答日時:
1/(z^n - 1) = 1/(z - 1){z^(n - 1) + ・・・ + z + 1}
=a0/(z-1) +a1/(z-b1) +a2/(z-b2) + ... + a_(n-1)/(z-b_(n-1))
b_k=e^(2πik/n) (k=1,2, ... ,n-1)
>z^(n - 1) + ・・・ + z + 1 は一次式の積に分解できますか。
求まるかは別にして分解できます。
>1 における留数は 1/n だと思うのです
その通り。
a=Res(1)=lim(z→1)1/{z^(n - 1) + ・・・ + z + 1}=1/n
a_0 = 1/n が 1 における留数で, a_i が 極 b_i における留数になっているのですね。
数式でわかりやすく説明してくださって、ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学 因数分解 高校などで習う因数分解では、 次数の最も低い文字に着目すると、 簡単に解ける場合があ 2 2022/08/02 22:55
- 数学 【 数A 自然数の積と素因数の個数 】 2 2023/03/02 23:58
- 数学 『因数に分解するということ』 9 2022/06/27 06:14
- 数学 複素積分 留数について質問です。 f(z)=1/((z-1)z(z+2)) に対して、閉曲線|z-1 4 2023/05/26 11:35
- 数学 数1 因数分解の問題です Q.【ab+bc-b²-ac】を因数分解せよ 私はcについて整理して、因数 6 2022/05/28 19:37
- 数学 【 数学 一次関数 】 問題 f(1)=-7,f(3)=-13を満たす1次関数f(x)を求めよ。 疑 4 2022/10/23 17:50
- 数学 中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。 1問だけでも教えていただけると嬉しいです。 (1) 4 2022/08/01 10:19
- 数学 √7の整数部分をx、少数部分をyとするとき、 2x²+3xy+y²の値を求めよ。 という問題で、 2 2 2022/06/08 13:22
- 数学 二次不等式 今までは 脳死に「因数分解」や「解の公式」を使って解いていたのですが写真の問題は解けませ 6 2023/04/27 22:16
- 数学 微分積分の問題でお聞きしたいことがあります。 次の関数zの2階の偏導関数を求める問題ですが、 log 2 2023/06/18 22:49
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積2桁の自然数のうち、各位の数...
-
1から9までの番号をつけた9枚の...
-
数学Aです。大中小3個のさいこ...
-
大小2つのサイコロを投げる時...
-
0.1は10パーセントなら1.0は何...
-
上三角行列同士をかけたときの...
-
等差数列をなす3数があり、その...
-
周囲の長さが一定の二等辺三角...
-
中1数学の質問です。 写真の❶の...
-
高1です!次の問題を分かりやす...
-
大,中,小3個のさいころを投げ...
-
連続する3つの整数の積は6の倍数?
-
素数の調べ方
-
数列1.2.3.....nにおいて、n≧2...
-
2数の積の最小、最大の数を出す...
-
測量図で、周囲の長さを算出す...
-
カルノー図から論理式を簡略化...
-
【 数A 自然数の積と素因数の個...
-
さいころの積が6の倍数
-
周の長さは同じなのに面積が違...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1から9までの番号をつけた9枚の...
-
周の長さは同じなのに面積が違...
-
0.1は10パーセントなら1.0は何...
-
大小2つのサイコロを投げる時...
-
高校数学です。0は全ての整数...
-
大,中,小3個のさいころを投げ...
-
数学I 下図の平行四辺形ABCDはA...
-
(1) x6条-64 因数分解したいん...
-
エナメル線の電流容量 教えて...
-
測量図で、周囲の長さを算出す...
-
数学Aです。大中小3個のさいこ...
-
行列の二項定理???
-
40秒は何分?の計算式を教え...
-
最大公約数や最小公倍数をだす...
-
デルタ関数について
-
積数計算になると思うのですが...
-
上三角行列同士をかけたときの...
-
数列1.2.3.....nにおいて、n≧2...
-
2数の積の最小、最大の数を出す...
-
高1です!次の問題を分かりやす...
おすすめ情報