ラウドン「光の量子論」について

「光の量子論（第２版）」を独学で勉強しています。
【問題５．１】に取り組んでいます。
（５．８）式で、パラメータλでの積分の扱い方が分かりません。
（５．９）式は、これが分かってからと思っています。
デルタ関数については、ほんの基本的なことしか理解しておりません。
どなたか、お教えください。

No.1 回答者： grothendieck 回答日時： 2012/03/22 22:59

あっという間にすばらしい回答が山のように寄せられて心強い限りですね。

だから私の回答など不要でしょうが...
　σ(r) = -∑eδ(r-rj ) + Zeδ(r)

とは任意のテスト関数をf(r)とするとき
　∫f (r)σ(r) dr = -∑ef (rj ) + Zef (0)

を意味します。表記を簡単にするため空間座標はxのみとします。δ関数の導関数とは
　∫f (r)δ'(r) dr = -f '(0)

を意味します。したがって
　∫[0~1]dλ {∫dx f (x) (∂/∂x)δ(x-λxj )} = -∫[0~1]dλ f '(λxj )

λxj = μ と変数変換すると
　∫[0~1]dλ f '(λxj ) = (1/xj)∫[0~xj ]dμ f '(μ) = (1/xj ) (f (xj )-f (0))

これはσをラウドンの(5.1)式としたとき(5.8)が(5.5)の解になっている事を示しています。