円,直線の位置関係

直線y=2x+Kと円x^2+y^2=4が異なる2点A,Bで交わっている。(-2√5<K<2√5)


三角形ＯＡＢが正三角形になるとき、Kの値を求めよ。


全くわかりません。
どうやって解くか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： pasocom 回答日時： 2012/03/25 11:15

＞三角形ＯＡＢが正三角形になる・・・。

この時の「点Ｏ」とは原点のことでしょうね。
すると、三角形ＯＡＢの辺ＯＡと辺ＯＢはいずれも円の半径ですから、その長さは２ですね。
（x^2+y^2=4　というのは原点を中心とする半径２の円です。）

すると「三角形ＯＡＢが正三角形になる」条件は、辺ＡＢの長さも２になればいいということです。
点Ａ，Ｂはともに二つの方程式の解ですから、二つの与式から方程式を解いて見ればいいのです。
解いた結果、点Ａの座標を（a1、a2）とし、点Ｂの座標を（b1、b2）とすれば、辺ＡＢの距離をＬとし、
Ｌ^2＝（a1-b1）^2＋（a2-b2）^2＝４
ですから、これからkを求めることができます。

No.4 回答者： ketahazure 回答日時： 2012/03/25 12:40

No.3です。

すみません、相似の計算において、対応する辺を間違っておりました。

正しくは、√3：2＝ok：2√5で、ok＝√15となります。

よって、求めるkの値は√15と－√15になります。

No.3 回答者： ketahazure 回答日時： 2012/03/25 12:27

三角形の相似を使うと簡単に解けます。

OABが正三角形になるという条件を満たすには、y＝2xがx＾2＋y＾2＝4の円の外側に向かって√3だけ垂直に移動したことになります。OABの底辺をABとしたときの高さが√3だからです。移動したあとのyとの交点がkということになります。


y＝2xは傾きが2なので、60度よりも大きく、点（2，0）や（－2，2）を通らないことがわかります。なので、kは4より小さく、－4より大きいということになります。

ここで、点kから直線y＝2xへ垂線を引き、その交点をpと置きます。

まず、y＝2xが負の方向に移動した場合（OABが座標の左上にできる場合）について考えます。直角三角形okpは、点（0，4）と（2，4）と原点の3つを通る直角三角形と二つの角が共通しているので、相似関係にあります。

求めるkは、okの長さということになりますから、相似により、√3：2＝ok：4となり、ok＝2√3と求まります。

反対側にもう一つ正三角形OABができますが、同様に考え、ok＝2√3になります。

よって、求めるkの値は2√3と－2√3となります。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/03/25 11:40

別解です。

△ＯＡＢが正三角形になるということは、点Ｏから直線ＡＢにおろした垂線の長さが
ＯＡの√３／２倍、つまり√３になるということです。点と直線の距離の公式を使って
ｙ＝２ｘ＋ｋと点Ｏの距離＝√３とおけばいいと思います。