No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
概形は添付図の通り。
x(t)がtの偶関数、y(t)がtの奇関数なのでグラフはx軸対称。
t=0~√3の時 x=0~9,y=t(3-t^2)=y1(t)≧0
t=-√3~0の時 x=9~0,y=t(3-t^2)=y2(-t)≦0
y2(t)=-y1(t)≦0(0≦t≦√3)
t=1でy=y1(t)は最大値y(1)=y1(1)=2,t=-1でy(t)=y2(-t)は
最小値y(-1)=y2(1)=-2をとる。
という性質があります。
(2)
グラフがx軸対称なので
面積
S=∫[0→9] {y1(t)-y2(-t)}dx(t) (0≦t≦√3)
=∫[0→9] 2y1(t)dx(t) (0≦t≦√3)
=∫[0→√3] 2y1(t)(dx/dt)dt
=∫[0→√3] 2(3t-t^3)(6t)dt
=12∫[0→√3] (3t^2-t^4)dt
=12[t^3-(1/5)t^5][0→√3]
=(72/5)√3
(3)
グラフがx軸対称なので曲線の長さLは0≦t≦√3の部分を求め2倍すれば良い。
曲線長
L=2∫[0→√3]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=2∫[0→√3]√{(6t)^2+(3-3t^2)^2}dt
=2∫[0→√3]√{9(t^2+1)^2}dt
=6∫[0→√3](t^2+1)dt
=6[(1/3)t^3 +t][0→√3]
=12√3
=∫[0→9] 2y1(t)(dx/dt)dt
No.1
- 回答日時:
>曲線x=3t^2,y=3t-t^3(-√3<=t<=√3)について、次の問いに答えよ
(1)概形を求めよ。
>(2)この曲線で囲まれる図形の面積を求めよ
x=3t^2≧0,t=±√3のとき、x=9より、0≦x≦9
dx/dt=6t
∫[0~9]ydx
=∫[-√3~√3]y(dx/dt)dt
=∫[-√3~√3](3t-t^3)・6tdt
=2×6∫[0~√3](3t^2-t^4)dt
>(3)この曲線の長さを求めよ
dy/dt=3-3t^2=3(1-t^2)
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2
=(6t)^2+3^2(1-t^2)^2
=9(1+t^2)^2より、
√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=3(1+t^2)
∫[-√3~√3]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=∫[-√3~√3]3(1+t^2)dt
=2×3∫[0~√3](1+t^2)dt
後は計算してみて下さい。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲線 y^2=x(logx)^2 x>0 y^2=0 x=0 のループ 1 2022/07/05 13:47
- 数学 微分積分の曲率についての問題がわからないです。 4 2022/07/16 16:23
- 数学 微分積分の変曲点、接線についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:41
- 数学 接線の本数を求めたいときの与式の微分について FG例題206 f(x)=xe^-x とするとき、 実 4 2023/07/24 15:43
- 数学 微分積分の接線についての問題がわからないです。 2 2023/01/08 13:54
- 数学 重積分で曲面間の体積を求める問題 3 2023/05/06 15:30
- 数学 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる 5 2023/01/26 00:36
- 数学 数学の問題について 1 2023/02/13 18:40
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲面√x+√y+√z=1と3つの座標平面x=0,y=0,z=0で囲まれ 1 2022/07/05 13:49
- 数学 写真の問題の(1)についてですが、 この問題の曲線のグラフの概形を書く時、どうして y"も求めている 2 2023/02/12 15:45
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
理経数学プラチカ55番(2)で・(d...
-
ある積分の問題。∫1/√(x^2+A) =...
-
定積分∫[3→0]|x^2-4|dxの答え...
-
微積分 dの意味
-
sinθの軌跡距離は?
-
1/(x*(x-1)^(1/2))の積分について
-
微分方程式
-
虚数「i」の無限大への極限
-
これが解けません。。。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
何が違いますか?
-
微積分 dの意味
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
2次微分の変数変換
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
∫r/(a^2+r^2)^3/2drの計算の解...
-
x^2 * exp(x^2) dxの不定積分
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
フーリエ変換の問題について
-
台形の任意の高さにおける上辺...
おすすめ情報