数学I.Aセンター過去問題

△ABCにおいて、AB=AC=3、BC=2であるとき、内接円Iに点Eと点Fを３点C、E、Fが一直線上にこの順に並びかつCF=√２となるようにとる。
このとき、CE、EF/CEを求めよ。
さらに、円Iと辺BCとの接点をD、線分BEと線分DFとの交点をG、線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。
このとき、GM/CGを求めよ。




この問題の回答、解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/04/16 04:06

△ABCにおいて、AB=AC=3、BC=2であるとき、内接円Iに点Eと点Fを３点C、E、Fが一直線上にこの順に並びかつCF=√２となるようにとる。

＞このとき、CE、EF/CEを求めよ。
内接円の中心をＩとすると、ＡＩは角Ａの二等分線。
△ＡＢＣは二等辺三角形だから、角Ａの二等分線は、底辺ＢＣの垂直二等分線でもある。
垂直二等分線（ＡＩ）とＢＣの交点をＤとすると、ＣＤ＝１
内心ＩはＡＤ上にあり、ＩＤ垂直ＢＣだから、ＤはＢＣと内接円の接点でもある。
方べきの定理より、ＣＦ・ＣＥ＝ＣＤ^2だから、√２・ＣＥ＝１^2より、ＣＥ＝１／√２
ＥＦ＝ＣＦ－ＣＥ＝√２－（１／√２）＝１／√２
よって、ＥＦ／ＣＥ＝１　……（１）

＞さらに、円Iと辺BCとの接点をD、線分BEと線分DFとの交点をG、線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。
＞このとき、GM/CGを求めよ。
△ＣＢＦで、（１）より、ＥはＣＦの中点、ＤはＢＣの中点だから、
ＢＥとＤＦの交点Ｇは、△ＣＢＦの重心であるから、ＣＧ：ＧＭ＝２：１より、
ＧＭ／ＣＧ＝１／２

でどうでしょうか？図を描いて考えてみて下さい。