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4つの自然数がありこれらから2つを選び和をとると
7,11,12,13,17 になります
この4つの自然数をどのように求めたらいいんでしょうか
適当に考えてたら
3,4,8,9が思い浮かんで確かにこれであってたんですが
考え方がわかりません
どうすればいいんでしょうか

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A 回答 (5件)

4つの自然数から2つを選んだ2数の和は6通りですが、問題では5種類の相異なる和が示されていますので、4つの自然数はすべて異なることが分かります。



なぜなら、このうち2数が同じだと仮定すると、4数をa,a,b,c(a≠b≠c)として、2数の和は2a,a+b,b+c,c+aの4種類しか相異なるものができないからです。(3数が同じなら2種類の和しかできず、4数が同じならもちろん1種類です。)

したがってこの4つの自然数をa,b,c,d (a<b<c<d)と置いても一般性を失いません。この中の2数の和の最小のものはa+bで、2番目に小さいものはa+cです。また最大のものはc+dで、その次に大きいのはb+dであることはあきらかなので、次の4つの式が成り立ちます。

a+b=7…(1),a+c=11…(2),c+d=17…(3),b+c=13…(4)
また、残りの和はa+dとb+cなので、これが残りの12で、a+d=12…(5),b+c=12…(6) も成り立ちます。
(1)+(2)+(6) より a+b+c=15 …(7) (7)-(6)よりa=3,(1)へ代入してb=4,(2)へ代入してC=8,これらを(3)へ代入してd=9

まとめると(a,b,c,d)=(3,4,8,9)で、この組み合わせは(1)から(6)までの式をすべて満たします。
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数学の証明問題は長いことやってないので,流儀を忘れてしまいましたが……



4つの(異なる)自然数をA,B,C,Dとして,かつA<B<C<Dとします.

このうち2つの数の和の最小値が7であることから,A+B=7……(1)
次に小さいのが11なので,A+C=11……(2)
最大値が17なので,C+D=17……(3)
になります.

(1)より,(A,B)の組合せは(1,6),(2,5),(3,4)のどれか……(4)
(2)(4)より,(A,C)の組合せは(1,10),(2,9),(3,8)のどれか……(5)
(3)より,(C,D)の組合せは(5,12),(6,11),(7,10),(8,9)のどれか……(6)
になります.(A<B<C<Dなので)

ここで,(5)(6)を同時に満たすCは,C=8の場合しかありません.したがって
(2)より,A=11-C=3,
(1)より,B=7-A=4,
(3)より,D=17-C=9,

が導かれます……というのはどうでしょう.
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まず、7が最小なので、小さいほうから2つの自然数は、(1,6)(2,5),(3,4)のいずれかです。


次に、17が最大なので上記を除くと、大きいほうの2つは、(5,12)(6,11)(7,10),(8,9)のいずれかです。つまり、4つの自然数は1~12にあります。

(1,6)であった場合、3番目に小さい数字は10でなくてはいけません。これは上記にありません。
(2,5)であった場合、3番目に小さい数字は9でなくてはいけません。これも上記にありません。
(3,4)であった場合、3番目に小さい数字は8でなくてはいけません。(8,9)があります。12も13もつくれます。

以上。
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4つの自然数を小さい順にa, b, c, dとすると、a<b<c<dです。


2つの和は
a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+dの6つになります。
大小関係を考えると
a+b < a+c
a+b < b+c
a+c < b+c
b+d < c+d
b+c < b+d
b+c < c+d
あたりが見えてきます。まとめると、
a+b < a+c < b+c < b+d < c+d
あと、a+dがどこに入るかな、という感じですが、候補は7,11,12,13,17しかないので、この5つのどれかと一致する訳ですね。

a+b < a+c < b+c < b+d < c+dなので
a+b = 7
a+c = 11
b+c = 12
b+d = 13
c+d = 17
これを解くと、a=3, b=4, c=8, d=9となり、a+d=12で、新たな和を生み出さないので矛盾なし。

といった考え方ですかね。
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4つの自然数をa,b,c,dとする。

このとき、1≦a≦b≦c≦dとしても一般性を失わない。
和の5数のうち最小値が7であることから、a+b=7 …… (1)
和の5数のうち最大値が17であることから、c+d=17 …… (2)
よって、4つの自然数の和は24である。
b+dは、c+d以下で最大。よって、b+d=13 …… (3)
a+cは、a+b以上で最小。よって、a+c=11 …… (4)
a,b,c,dのうち2数を選んで和を求める組合せは4C2=6とおり。
(1)~(4)以外の組合せは、a+d,b+cの2とおり。これらの和が12。
a+d=12 …… (5)
b+c=12 …… (6)

(3)-(1)より、d-a=6 …… (7)
(5)+(7)より、2d=18
∴d=9 …… (8)
(8)を(2)に代入して、c=8
(8)を(3)に代入して、b=4
(8)を(5)に代入して、a=3
(a,b,c,d)=(3,4,8,9)の組合せは、これまでの議論をすべて満たしている。
∴(a,b,c,d)=(3,4,8,9)
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