数学の質問です

次の条件をみたす2次関数のグラフの方程式を求めよ。　x軸に接し、2点（1,1）（4,4）を通る。

の問について、それぞれの点に対して文字を用いて立式するところまではできたのですが、肝心の文字を明かすことが出来ていません。立式した式は合っていました。解答を見たからです。解答ではこのあと2つの式を割っていたのですが、割る意味がわかりません。割るのは単純に解を求めるためだけですか？だとしても手順が端折られているのか私の理解力が乏しすぎるのか両方なのか、計算がわかりません。解答の画像を貼りたかったのですがメモリ不足うんたらと2回出たので今回は申し訳ありませんが貼れません。すみません。ですが、どなたかご回答よろしくお願いします。

求める2次関数は問題で示された点を通るため、
a(p-1)²=1…①　a(p-4)²=4…②　と表せる。②÷①より、(p-4)²×1/(p-1)²=4 ⇔3p²=12　∴p=±2　
で、それぞれpに代入してaを求めて2次関数の式を完成させる、といった解答です。読みにくいかもしれませんが、ご容赦ください。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/01 20:31

二次関数は、x軸に接するという条件から

　y = a(x + b)^2　　　(1)
と表せます。
これが、(1, 1), (4, 4) を通るので
　1 = a(1 + b)^2　　　(2)
　4 = a(4 + b)^2　　　(3)
として、b を求めたいので a を消去するために (3)÷(2) にしますよね？
そうすれば
　(4 + b)^2/(1 + b)^2 = 4
→　(4 + b)/(1 + b) = ±2
→　4 + b = ±2(1 + b)
→　b = -2, 2

b=2 のとき
　a = 1/9
b=-2 のとき
　a = 1

従って、二次関数は
　y = (1/9)(x + 2)^2 = (1/9)x^2 + (4/9)x + 4/9
または
　y = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

＞解答ではこのあと2つの式を割っていたのですが、割る意味がわかりません。

上と同じで、解答の①②式から a を消去するためです。

＞割るのは単純に解を求めるためだけですか？

そういうことです。

この回答へのお礼

個人的に一番見やすい解答ありがとうございます。割る理由や方法もわかりました。

お礼日時：2018/04/03 19:06

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/02 09:14

難しく考える必要はありません。

シンプルイズベストです。
二次関数の一般式は　ｙ＝aｘ²＋ｂｘ＋ｃです。
x軸に接し、2点（1,1）（4,4）を通る。と３条件あるので。a、ｂ、ｃは求まるはずです。
1.　x軸に接し、からその座標は、ｄｙ/ｄｘ＝２aｘ＋ｂ＝０からｘ＝－ｂ/２aでその時ｙ＝０＝ｂ²/４a－ｂ²/２a+c
からc=b²/4a
２．点（1,1）を通る。から１＝a＋ｂ＋b²/4a・・・①
３．点（４,４）を通る。から４＝16a＋４ｂ＋b²/4a・・・②
①-②は　－３＝－１５aー３ｂ
①か②へ　a＝(１－b)/5・・・③
③を①へ代入すると
５ｂ²＋３６ｂ－１６＝０
ｂ＝（ー１８±２√１３１）÷５
③へ代入して　a＝（２３∓２√１３１）÷２５
ｃ＝（－１８±２√１３１）²÷４（２３∓２√１３１）
よって
ｙ＝（２３∓２√１３１）/２５ｘ²＋（ー１８±２√１３１）/５ｘ＋（－１８±２√１３１）²/４（２３∓２√１３１）
です。

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/01 20:36

x軸に接するとあるので2次関数はf(x)=p(x-a)^2 （a:実数、p:0以外の実数)であらわせます。

あとは2点（1,1）（4,4）を通るとあるので、
p(1-a)^2=1 …(1)
p(4-a)^2=4 …(2)
となります。
pは0以外の実数のため、(2)/(1)を計算することができます。
(4-a)^2/(1-a)^2=4

両辺に(1-a)^2をかけると、
(4-a)^2=4(1-a)^2

a^2 - 8a +16 = 4a^2 - 8a + 4
12 = 3a^2
a^2=4
a=±2 …(3)

(3)を(1)に代入
a=2のとき：
p(1-2)^2=1
p=1

a=-2のとき
p(1-(-2))^2=1
9p=1
p=1/9

よって求めるf(x)は

f(x)=(x-2)^2=x^2 - 4x + 4

または、

f(x)=(1/9)*(x+2)^2=(1/9)x^2 + (4/9)x + 4/9

この回答へのお礼

計算の過程を端折らずに表して下さりありがとうございます！

お礼日時：2018/04/03 19:07

No.2 回答者： 海月9664 回答日時： 2018/04/01 20:30

割る意味はそれで合っていますし、わからないのは計算が端折られているせいで間違いありません。

ただ解答に気になるところがありますので書き直させて頂きたいと思います。

グラフがx軸と接するので、求める二次関数は
y=a(x−p)²
と表される。(1,1),(4,4)を通るので
1=a(1−p)²…①
4=a(4−p)²…②
②÷①
(4−p)²/(1−p)²=4
(4−p)²=4(1−p)²
16−8p+p²=4−8p+4p²
3p²=12
p²=4
p=±2
これを①に代入して
1=a(1−2)²または1=a{1−(−2)}²
a=1または9a=1
a=1またはa=1/9
以上より求める関数は
y=(x−2)²またはy=(1/9)(x+2)²

この回答へのお礼

そっか、aを消すためには割らないとですね。こうしてみてみるとそんな難しくない気もしますが端折られていたら所見では理解できませんでした。ありがとうございます。

お礼日時：2018/04/03 19:09

No.1 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/04/01 20:21

私は次の通り解きますが、参考にして下さい。

一般式 y=ax^u2+b とし2点の座標を代入。
1=a(1)^u2+b
　=a+b...①
4=a(4)^u2+b
=16a+b...②
②-①
3=15a
a=1/5
①に代入
1=1/5+b
b=4/5
従って
y=1/5x+4/5